复习参考题教学设计(第一课时)

第二章

基本初等函数（Ⅰ）

必修1

第二章

基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．

③根式的性质：(na)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时，

nan|a|

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：anam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是：a

mna (a0)．

a (a0) mn1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的负分数指aa数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①aaarsrs(a0,r,sR) ②(ar)sars(a0,r,sR)

③(ab)rarbr(a0,b0,rR)

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

函数

名称

定义

指数函数

函数yax(a0且a1)叫做指数函数

a1

0a1

yaxyy

yax

图象

y1

(0,1)

y1(0,1)

O定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

函数值的

变化情况

xR

Ox(0,)

图象过定点(0,1)，即当x0时，y1．

非奇非偶

在R上是增函数

在R上是减函数

ax1(x0)ax1(x0)

ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)

ax1(x0)a变化对

图象的影响

在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．

（2）几个重要的对数恒等式

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．

（4）对数的运算性质

如果a0,a1,M0,N0，那么

①加法：logaMlogaNloga(MN)

②减法：logaMlogaNlogaM

N③数乘：nlogaMlogaMn(nR)

④aN

nn⑤logabMlogaM(b0,nR)

b⑥换底公式：logaN

logaNlogbN(b0,且b1)

logba

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

函数

名称

定义

对数函数

函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数

a1

0a1

yx1

ylogaxyx1

ylogax

图象

(1,0)

O(1,0)xO

x定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

函数值的

变化情况

在(0,)上是增函数

(0,)

R

图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．

非奇非偶

在(0,)上是减函数

logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)

logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)

a变化影响

(6)反函数的概念

设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于对

图象的 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．

y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表11示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf(y)，习惯上改写成yf(x)．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；

1②从原函数式yf(x)中反解出xf(y)；

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则yx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则yx是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直线yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．

qpqpqp〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)ax2bxc(a0) ②顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)

③两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．

（3）二次函数图象的性质

①二次函数f(x)axbxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x2b,顶点坐标是2ab4acb2(,)．

2a4a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,bbb]上递减，在[,)上递增，当x时，2a2a2abb4acb2]上递增，在[,)上递减，fmin(x)；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,2a2a4ab4acb2当x时，fmax(x)．

2a4a2③二次函数f(x)axbxc(a0)当b4ac0时，图象与x轴有两个交点2M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|2．

|a|（4）一元二次方程axbxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x)ax2bxc，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a

②对称轴位置：xb

③判别式：

④端点函数值符号． △＝b2－4ac≥0①k＜xaf(k)＞01≤x2  

－b2a＞kyf(k)0a0Okx1x2xxb2a △＝b2－4ac≥0②x＜k  af(k)＞01≤x2－b

2a＜kya0f(k)0Oxx21kxxb2a

③x1＜k＜x2  af(k)＜0 ya0Okx1x2xf(k)0

2ayxb2akOx1x2xf(k)0a0

yxb2aOkx1x2xa0f(k)0

yf(k)0x1Okx2xa0

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

④k＜x≤x＜k  1122△＝b－4ac≥0a＞0f(k1)＞0f(k2)＞0bk1＜－＜k22aa02或△＝b－4ac≥0a＜0f(k1)＜0

f(k2)＜0bk1＜－＜k22axb2a2yyf(k1)0f(k)02x1x2k2xOOk1k1x1x2k2xbx2a f(k1)0a0f(k2)0

⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2  f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

ya0yf(k1)0f(k1)0x1k2Ok1x2xOx1k1a0x2k2xf(k2)0f(k2)0 a＞0f(k)＞0⑥k＜x＜k≤p＜x＜p  f(k)＜0f(p)＜0f(p)＞01112122212

a＜0f(k)＜0或f(k)＞

0f(p)＞0f(p)＜01212此结论可直接由⑤推出．

（5）二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值

设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x0（Ⅰ）当a0时（开口向上）

1(pq)．

2最小值

①

若

Obbbp，则mf(p) ②若pq，则mf()

2a2a2af(q)xf(p)第

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f(q)Oxb)2afbf((p))2af(

第二章

基本初等函数（Ⅰ）

③若b2aq，则mf(q)



f

(p)

Ox

ff(b(q)2a)①

若b2ax0，则Mf(q)



fx

(q)0

Ox

f

f((p)b2a)

(Ⅱ)当a0时(开口向下) ①若b2ap，则Mf(p)

f(b2a)

f

(p)

Ox

f

(q)

③若b2aq，则Mf(q)

最大值

②b2ax0，则Mf(p)

f(p)x0Oxff(b(q)2a)最大值

②若pb2aq，则Mf(b2a)f(bf2a)(p)Oxf(q)第

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

Of(fb)2a(q)xf(p)最小值

①若

f(b)2abbx0，则mf(q)

②x0，则mf(p)．

2a2af(f(p)Ofb)2a(q)x0xx0Oxf(q)f(p)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 第1讲

§2.1.1

指数与指数幂的运算

¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.

¤知识要点：

1. 若xna，则x叫做a的n次方根，记为na，其中n>1，且nN.

n次方根具有如下性质：

（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零. （2）n次方根（n1,且nN*）有如下恒等式：

npa,n为奇数；ampnam，（a0）. (na)na；nan|a|,n为偶数2. 规定正数的分数指数幂：aa

（a0,m,nN,且n1）；

a¤例题精讲：

【例1】求下列各式的值：

n（1）n（n1,且nN*）；

（2）(xy)2. （3）n解：（1）当n为奇数时，n（3）3；

mnnmmn1amn1nam.

n

当n为偶数时，n（3）|3|3. （2）(xy)2|xy|.

当xy时，(xy)2xy；当xy时，(xy)2yx. 第

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

a3na3n【例2】已知a21，求n的值.

aana3na3n(anan)(a2n1a2n)12n2na1a211221. 解：naananan212n【例3】化简：（1）(2ab)(6ab)(3ab)；

（2）231212131656a3b23ab2(ab)314124ba（a＞0，b＞0）；

（3）819. 423解：（1）原式=[2(6)(3)]a（2）原式=211326b131152364ab04a. 43ab[(ab)]ab2(b/a)44321123213=ababab4432162373=abab41062373=a. b2342134144213416（3）原式=3[(3)]3333(33)(3)(3)33363. 点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键. 【例4】化简与求值：

1111（1）642642；

（2）. 1335572n12n1解：（1）原式=22222(2)222222(2)2

=(22)2(22)2

=2222=4. 212322123243153752n12n1

315375(2n1)(2n1)11

=(3153752n12n1)=(2n11). 22点评：形如AB的双重根式，当A2B是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想. 第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得. （2）原式=第2讲

§2.1.2

指数函数及其性质（一）

¤学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质. ¤知识要点：

1. 定义：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R. 2. 以函数y2x与y()x的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：

定义域为R，值域为(0,)；当x0时，y1，即图象过定点(0,1)；当0a1时，在R上是减函数，当a1时，在R上是增函数. ¤例题精讲：

【例1】求下列函数的定义域：

（1）y213x121；

（2）y()313x5x10x100；

（3）yx. 10100解：（1）要使y2（2）要使y()有意义，其中自变量x需满足3x0，即x3.

∴

其定义域为{x|x3}. 135x有意义，其中自变量x需满足5x0，即x5.

∴

其定义域为{x|x5}. 第

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

10x100（3）要使yx有意义，其中自变量x需满足10x1000，即x2. ∴其定义域为{x|x2}. 10100【例2】求下列函数的值域：

13x21（1）y()；

（2）y4x2x1

313x2112()01.

∴

原函数的值域为{y|y0,且y1}. 解：（1）观察易知0，

则有y()333x113（2）y4x2x1(2x)22x1.

令t2x，易知t0. 则yt2t1(t)2. 2413

结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到y(t)2在t0上为增函数，

241313所以y(t)2(0)21. ∴

原函数的值域为{y|y1}. 2424【例3】（05年福建卷.理5文6）函数f(x)axb的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（

）. A．a1,b0

B．a1,b0

C．0a1,b0

D．0a1,b0

解：从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而00，b<0. 所以选D. 点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，参数a的范围. 根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b的范围. 也可以取时的特殊点，得到ab1a0，从而b<0. 【例4】已知函数f(x)a23x(a0,且a1). （1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性. 即得到x=12时，a23xa01.

32所以，该函数的图象恒过定点(,1). 3（2）∵

u23x是减函数，

∴

当0a1时，f(x)在R上是增函数；当a1时，f(x)在R上是减函数. 解：（1）当23x0，即x点评：底数两种情况的辨析，实质就是分类讨论思想的运用. 而含参指数型函数的研究，要求正确处理与参数相关的变与不变.

第3讲

§2.1.2

指数函数及其性质（二）

¤学习目标：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 指数函数的性质及应用. ¤知识要点：

以函数y2x与y()x的图象为例，得出这以下结论：

（1）函数yf(x)的图象与yf(x)的图象关于y轴对称. （2）指数函数yax(a0,且a1)的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大. ¤例题精讲：

【例1】按从小到大的顺序排列下列各数：32，0.32，22掌握12，0.22.

解：构造四个指数函数，分别为y3x，y0.3x，y2x，y0.2x，它们在第一象限内，图象由下至上，依次是y0.2x，y0.3x，y2x，y3x. 如右图所示.

由于x20，所以从小到大依次排列是：

0.22，0.32，22，32. 点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题. 当然，我们在后面的学习中，可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小.

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

2x1【例2】已知f(x)x. （1）讨论f(x)的奇偶性；

（2）讨论f(x)的单调性. 21解：（1）f(x)的定义域为R. 2x1(2x1)2x12x2x1xf(x).

∵

f(x)x21(2x1)2x12x21∴

f(x)为奇函数. （2）设任意x1,x2R，且x1x2，则

2x112x212(2x12x2)f(x1)f(x2)x1. 212x21(2x11)(2x21)由于x1x2，从而2x12x2，即2x12x20. ∴

f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).

∴

f(x)为增函数. 点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果.

【例3】求下列函数的单调区间：（1）yax解：（1）设yau,ux22x3.

由ux22x3(x1)24知，u在(,1]上为减函数，在[1,)上为增函数.

根据yau的单调性，当a1时，y关于u为增函数；当0a1时，y关于u为减函数. ∴

当a1时，原函数的增区间为[1,)，减区间为(,1]；

当0a1时，原函数的增区间为(,1]，减区间为[1,). （2）函数的定义域为{x|x0}. 设y而根据y22x3；

（2）y1. x0.211,u0.2x. 易知u0.2x为减函数. u11的图象可以得到，在区间(,1)与(1,)上，y关于u均为减函数. u1∴在(,0)上，原函数为增函数；在(0,)上，原函数也为增函数.

点评：研究形如yaf(x)(a0，且a1)的函数的单调性，可以有如下结论：当a1时，函数yaf(x)的单调性与f(x)的单调性相同；当0a1时，函数yaf(x)的单调性与f(x)的单调性相反. 而对于形如y(ax)(a0，且a1)的函数单调性的研究，也需结合ax的单调性及(t)的单调性进行研究. 复合函数yf((x))的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出yf(u)与u(x)两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”？我们可以抓住

“x的变化→u(x)的变化→yf(u)的变化”这样一条思路进行分析. 第4讲

§2.2.1

对数与对数运算（一）

¤学习目标：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题. ¤知识要点：

1. 定义：一般地，如果axN(a0,a1)，那么数

x叫做以a为底

N的对数（logarithm）.记作

xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数

2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数log10N简记为lgN

在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数logeN简记作lnN

3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当a0,a1时，logaNbabN.

4. 负数与零没有对数；loga10，

logaa1 ¤例题精讲：

【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1）271；

（2）3a27；

（3）1010.1；

128第

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

（4）log1325；

（5）lg0.0013；

（6）ln100=4.606. 2解：（1）log217；

（2）log327a；

（3）lg0.11；

128（4）()532；

（5）1030.001；

（6）e4.606100. 【例2】计算下列各式的值：（1）lg0.001；

（2）log48；

（3）lne. 解：（1）设lg0.001x，则10x0.001，即10x103，解得x3. 所以，lg0.0013. 1233. 所以，log48. 22111xx（3）设lnex，则ee，即ee2，解得x. 所以，lne. 22M【例3】求证：（1）logaann；

（2）logaMlogaNloga. N证明：（1）设logaanx，则anax，解得xn.

（2）设log48x，则4x8，即22x23，解得x所以logaann. （2）设logaMp，logaNq，则apM，aqN. MapM因为pqlogaMlogaN. qapq，则logaNNaM所以，logaMlogaNloga. N点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导. logcb【例4】试推导出换底公式：logab

（a0，且a1；c0，且c1；b0）. logca证明：设logcbm，logcan，logabp，

则cmb，cna，apb. 从而(cn)pbcm，即npm. 由于nlogcalogc10，则p所以，logabm.

nlogcb. logca点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系. 第5讲

§2.2.1

对数与对数运算（二）

¤学习目标：通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题.

¤知识要点：

1. 对数的运算法则：loga(MN)logaMlogaN，logaMlogaMlogaN，logaMnnlogaM，其中Na0,且a1，M0,N0,nR. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式. logbN12. 对数的换底公式logaN. 如果令b=N，则得到了对数的倒数公式logab. 同样，也可以推logbalogba导出一些对数恒等式，如loganNnlogaN，logamNn¤例题精讲：

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nlogaN，logablogbclogca1等.

m

第二章

基本初等函数（Ⅰ）

【例1】化简与求值：（1）(lg2)2lg2lg5(lg2)2lg21；（2）log2(4747). 12111122421111

=lg22lg2lg5lg21=lg2(lg22lg52)1

42241

=lg2(lg1002)1011. 4121（2）原式=log2(4747)2=log2(4747)2

211

=log2(47472427)=log214. 2211【例2】若2a5b10，则=

.

（教材P83 B组2题）

ab解：由2a5b10，得alog210，blog510. 则

解：（1）原式=(lg2)2lg2lg5(lg21)2=lg22lg2lg5(lg21)

1111lg2g5lg101. ablog210log510【例3】

（1）方程lgxlg(x3)1的解x=________；

（2）设x1,x2是方程lg2xalgxb0的两个根，则x1x2的值是

. 解：（1）由lgxlg(x3)1，得lg[x(x3)]lg10，

即x(x3)10，整理为x23x100.

解得x=－5或x=2.

∵

x＞0，

∴

x=2. （2）设lgxt，则原方程化为t2atb0，其两根为t1lgx1,t2lgx2. 由t1t2lgx1lgx2lg(x1x2)blg10b，得到x1x210b. 点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系. 111【例4】（1）化简：；

log57log37log27（2）设log23log34log45log20052006log2006m4，求实数m的值. 解：（1）原式=log75log73log72log7(532)log730. （2）原式左边=log23log24log25log22006log2mlog2m, log23log24log22005log22006∴

log2m4log224，

解得m16. 点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数. 换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.

第6讲

§2.2.2

对数函数及其性质（一）

¤学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. ¤知识要点：

1. 定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数y=logax叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x；

函数的定义域是（0，+∞）. 2. 由ylog2x与ylog1x的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)，值域为R；当x1时，2y0，即图象过定点(1,0)；当0a1时，在(0,)上递减，当a1时，在(0,)上递增. ¤例题精讲：

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

【例1】比较大小：（1）log0.90.8，log0.90.7，log0.80.9；

（2）log32，log23，log4又

log0.80.9log0.80.81，

所以log0.80.9log0.90.8log0.90.7. （2）由

log31log32log33，得0log321. 又log23log221，log4所以log41. 3解：（1）∵

ylog0.9x在(0,)上是减函数，且0.90.80.7，

∴

1log0.90.8log0.90.7. 1log410，

31log32log23.

3【例2】求下列函数的定义域：（1）ylog2(3x5)；（2）ylog0.5(4x)3. 解：（1）由log2(3x5)0log21，得3x51，解得x2.

所以原函数的定义域为[2,). （2）由log0.5(4x)30，即log0.5(4x)3log0.50.53，

11. 所以，原函数的定义域为(0,]. 3232【例3】已知函数f(x)loga(x3)的区间[2,1]上总有|f(x)|2，求实数a的取值范围. 解：∵

x[2,1]，

∴

1x32

所以04x0.53，解得0x当a1时，loga1loga(x3)loga2，即0f(x)loga2.

∵

|f(x)|2，

∴

a1，

解得a2. loga22当0a1时，loga2loga(x3)loga1，即loga2f(x)0. ∵

|f(x)|2，

∴

20a1，

解得0a. loga2222)(2,). 2点评：先对底数a分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数a的不等式组，解不等式（组）而得到参数的范围. 解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论，不等式法求参数范围. 【例4】求不等式loga(2x7)loga(4x1)(a0,且a1)中x的取值范围. 综上可得，实数a的取值范围是(0,2x701解：当a1时，原不等式化为4x10，解得x4. 42x74x12x70当0a1时，原不等式化为

4x10，解得x4. 2x74x11所以，当a1时，x的取值范围为(,4)；当0a1时，x的取值范围为(4,). 4点评：结合单调性，将对数不等式转化为熟悉的不等式组，注意对数式有意义时真数大于0的要求. 当底数a不确定时，需要对底数a分两种情况进行讨论.

第7讲

§2.2.2

对数函数及其性质（二）

¤学习目标：掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数y=ax 与对数函数y=loga x互为反函数. （a > 0, a≠1）

¤知识要点：

1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称. 2. 函数yax(a0,a1)与对数函数ylogax(a0,a1)互为反函数. 第

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

3. 复合函数yf((x))的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i）求定义域；（ii）拆分函数；（iii）分别求yf(u),u(x)的单调性；（iv）按“同增异减”得出复合函数的单调性. ¤例题精讲：

【例1】讨论函数ylog0.3(32x)的单调性. 33. 设t32x,x(,)，易知为减函数. 223又∵

函数ylog0.3t是减函数，故函数ylog0.3(32x)在(,)上单调递增. 2解：先求定义域，由32x0, 解得x【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（

）.

A. 0.4330.4log40.3

B. 0.43log40.330.4

C. log40.30.4330.4

D. log40.330.40.43

解：在同一坐标系中分别画出y0.4x,y3x,ylog4x的图象，分别作出当自取3，0.4，0.3时的函数值. 观察图象容易得到：log40.30.4330.4. 故选C. 【例3】指数函数yax(a0,a1)的图象与对数函数ylogax(a0,a1)的图象有何关系？

解：在指数函数yax的图象上任取一点M(x0,y0)，则y0ax0. 由指对互化关系，有logay0x0. 所以，点M'(y0,x0)在对数函数ylogax的图象上. 因为点M(x0,y0)与点M'(y0,x0)关于直线yx对称，

所以指数函数yax(a0,a1)的图象与对数函数ylogax(a0,a1)的图象关于直线yx对称. 点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数yax与ylogax(a0,a1)互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线yx对称.

【例4】2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：yk[ln(mx)ln(2m)]4ln2(其中k0). 当燃料重量为(e1)m吨（e为自然对数的底数，e2.72）时，该火箭的最大速度为4（km/s）. （1）求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系式yf(x)；

（2）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？

解：（1）依题意把x(e1)m,y4代入函数关系式yk[ln(mx)ln(2m)]4ln2，解得k8. 所以所求的函数关系式为y8[ln(mx)ln(2m)]4ln2,

整理得yln(（2）设应装载x吨燃料方能满足题意，此时，m544x,y8

代入函数关系式yln(变量xmx8).

mmx8544),得ln1,解得x344(吨).

m544x所以，应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道. 点评：直接给定参数待定的函数模型时，由待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数. 一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其它问题. 代入法、方程思想、对数运算，是解答此类问题的方法精髓.

第8讲

§2.3

幂函数

¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图像，了解它们的变化情况. 知识要点：

1. 幂函数的基本形式是yx，其中x是自变量，是常数. 要求掌握yx，第

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

yx2，yx3，yx1/2，yx1这五个常用幂函数的图象. (,)上是增函数（2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0时，图象过定点(0,0),(1,1)；在0.2）当0时，图象过定点(1,1)；在(0,)上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数yx的图象，在第一象限内，直线x1的右侧，图象由下至上，指数由小到大.

y轴和直线x1之间，图象由上至下，指数由小到大. ¤例题精讲：

【例1】已知幂函数yf(x)的图象过点(27,3)，试讨论其单调性. 解：设yx，代入点(27,3)，得327，解得所以yx，在R上单调递增. 【例2】已知幂函数yxm6(mZ)与yx2m(mZ)的图象都与x、y轴都没有公共点，且

131，

3yxm2(mZ)的图象关于y轴对称，求m的值．

解：∵

幂函数图象与x、y轴都没有公共点，∴

m60，解得2m6. 2m0又

∵

yxm2(mZ)的图象关于y轴对称，

∴

m2为偶数，即得m4. 【例3】幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则（

）. A．1n0m1

B．n1,0m1

C．1n0,m1

D．n1,m1

解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线x1侧，图象由下至上，依次是yxn，yx1，yx0，yxm，yx1，所n10m. 选B. 点评：观察第一象限内直线x1的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意两个隐含的图象yx1与yx0.

【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区am2的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的的右以有比较2.

2（1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？

a（3）若通过技术创新，至少保留m2的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？

4解：（1）设每年平改坡的百分比为x(0x1)，则

111101101

a(1x)a，即1x()，解得x1()0.06706.70. 222n211011na，即()()2，解得n=5.

（2）设到今年为止，该工程已经进行了n年，则a(1x)22210

所以，到今年为止，该工程已经进行了5年.

（3）设今后最多还需平改坡m年，则

a(1x)m551m1011()2，解得m=15.

a，即()224

所以，今后最多还需平改坡15年.

点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用. 第9讲

第二章

基本初等函数（Ⅰ）

复习

¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解. ¤例题精讲：

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第二章

基本初等函数（Ⅰ）

【例1】若f(x)ax(a0,且a1)，则f(x1x2f(x1)f(x2).

)22x1x2f(x1)f(x2)x1x2ax1ax2ax1ax22ax1ax2(ax1ax2)22f()a0. 证明：22222xx2f(x1)fx(2)∴

f(1.

（注：此性质为函数的凹凸性）

)22bx【例2】已知函数f(x)2(b0,a0). ax111（1）判断f(x)的奇偶性；

（2）若f(1),log3(4ab)log24，求a，b的值. 22bx解：（1）f(x)定义域为R，f(x)2f(x)，故f(x)是奇函数. ax1b1（2）由f(1)，则a2b10.又log3(4a-b)=1，即4a-b=3.

a12a2b10由得a=1，b=1. 4ab3exa【例3】（01天津卷.19）设a＞0，

f(x)x是R上的偶函数. ae（1）求a的值；

（2）证明f(x)在(0,)上是增函数．

exa解：（1）∵

f(x)x是R上的偶函数，∴

f(x)f(x)0. ae1exaexa11∴

xx0(a)ex(a)ex0(a)(exex)0. aaeaeaa1ex－e-x不可能恒为“0”，

∴

当－a＝0时等式恒成立，

∴a＝1．

a（2）在(0,)上任取x1＜x2，

ex11111x1x2f(x1)f(x2)x1ex2x2(ex1ex2)(x1)(ee)(1)

x1x2aeeeex2eex1x2x1x2(ee)(ee1)∵

e＞1，x1＜x2，

∴

ex1ex21，

∴ex1ex2＞1，＜0，

ex1ex2∴

f(x1)f(x2)0，

∴

f(x)是在(0,)上的增函数．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数yax与yxaxa的复合，可以进一步变式探讨y的单调性. axax【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿. （1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t年后的世界人口数y（亿）与t的函数解析式；

（2）若人口的平均增长率为x%，写出2010年底世界人口数为y（亿）与x的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？

*解：（1）经过t年后的世界人口数为

y54.. 8(11.t2)54.8tt1.0N12,（2）2010年底的世界人口数y与x的函数解析式为

y54.8(1x)18. 由y54.8(1x)1866.8，

解得x100(18所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内. 66.81)1.1. 54.8第

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