习题1.2优质教案设计

跟踪检测(三)

简单的逻辑联结词、全称命题、特称命题

1．[2019清华大学自主招生3月能力测试]“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是(

) A．∀x∈R，x2－πx<0 B．∀x∈R，x2－πx≤0 C．∃x0∈R，x20－πx0≤0 D．∃x0∈R，x20－πx0<0 答案：D 解析：全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是2“∃x0∈R，x0－πx0<0”．故选D. 2．[2019吉林辽源田家炳高级中学等五校期末联考]下列命题中的假命题是(

) A．∃x0∈R，使得log2x0＝0 B．∀x∈R，x2>0 C．∃x0∈R，使得cos x0＝1 D．∀x∈R,2x>0 答案：B 解析：由于log21＝0，因此∃x0∈R，使得log2x0＝0为真命题；

当x＝0时，x2＝0，因此∀x∈R，x2>0为假命题；

当x＝0时，cos x＝1，因此∃x0∈R，使得cos x0＝1为真命题；

根据指数函数的性质，∀x∈R,2x>0为真命题．故选B. 3．[2019湖南长沙一模]已知命题p：∃x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，1)

C．(1，＋∞)

答案：D 解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即B．(－∞，1]

D．[1，＋∞)

x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，故选D. 4．[2019云南玉溪模拟]下面有四个关于三角函数的命题：

p1：∃x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝2；

p2：∃x0∈R，使得sin 2x0＝sin x0；

ππp3：∀x∈－2，2，1＋cos 2x＝cos x；

2p4：∀x∈(0，π)，sin x>cos x. 其中真命题是(

) A．p1，p4

C．p3，p4

答案：B π解析：因为sin x＋cos x＝2sinx＋4≤2，

所以sin x＋cos x＝2不成立，故命题p1是假命题；

由sin 2x＝2sin xcos x以及sin 2x＝sin x成立可知，

当sin x＝0，即x＝kπ(k∈Z)时满足等式，故命题p2是真命题；

因为1＋cos 2x＝cos2x，所以21＋cos 2x＝|cos x|，

2B．p2，p3

D．p2，p4

ππ由x∈－2，2得cos x≥0，

由此可得1＋cos 2x＝cos x，故命题p3是真命题；

2π0，因为当x∈4时，sin x≤cos x，不满足sin x>cos x，

所以∀x∈(0，π)，sin x>cos x不成立，

故命题p4是假命题．故选B. 5．[2019河北唐山一中期末]已知定义在R上的函数f(x)的周期为T(常数)，则命题“∀x∈R，f(x)＝f(x＋T)”的否定是(

) A．∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T) B．∀x∈R，f(x)≠f(x＋T) C．∀x∉R，f(x)＝f(x＋T) D．∃x0∈R，f(x0)＝f(x0＋T)

答案：A 解析：命题“∀x∈R，f(x)＝f(x＋T)”的否定是“∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)”，故选A. 6．[2019湖南师大附中月考]已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0；命题q：π∀x∈0，2，sin x

) A．p∧q

C．(綈p)∧q

答案：C B．p∨(綈q) D．p∧(綈q) 解析：∀x∈(－∞，0)，2x>3x，故命题p是假命题，

故綈p是真命题；

命题q是真命题，故(綈p)∧q是真命题，故选C. 7．[2019河南郑州外国语中学2月模拟]已知命题p：若复数z满足(z－i)·(－1＋i1i)＝5，则z＝6i；命题q：复数的虚部为－5i，则下列命题中为真命题的是1＋2i(

) A．(綈p)∧(綈q)

C．p∧(綈q)

答案：C 解析：复数z满足(z－i)·(－i)＝5，

5则z＝－i＋i＝6i，

故命题p为真命题，则綈p为假命题；

复数1＋i1＋i·1－2i31＝＝－i，

1＋2i1＋2i·1－2i55B．(綈p)∧q

D．p∧q

1则z的虚部为－5，故命题q为假命题，则綈q为真命题．

由复合命题真假判断的真值表可知(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，p∧q为假命题．故选C. 8．[2019山西太原3月模拟]已知命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1≥0；命题q：11若ab.则下列命题中为真命题的是(

) A．p∧q

B．p∧(綈q)

C．(綈p)∧q

答案：B D．(綈p)∧(綈q) 133解析：x2－x＋1＝x－22＋4≥4>0，

2所以∃x0∈R，使x0－x0＋1≥0成立，故p为真命题，綈p为假命题．又易知命题q为假命题，所以綈q为真命题．由复合命题真假判断的真值表知p∧(綈q)为真命题，故选B. 9．[2019吉林实验中学二模]已知p：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象与x轴有两个交点，q：∀x∈R,4x2＋4(m－2)x＋1>0恒成立．若p∨q为真，则实数m的取值范围为(

) A．(2,3) B．(－∞，1]∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪[3，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：D 解析：若函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象与x轴有两个交点，则Δ＝m2－4>0，

解得m>2或m<－2. 若∀x∈R,4x2＋4(m－2)x＋1>0恒成立，

则Δ＝16(m－2)2－16<0，

解得1

∴p真q假或p假q真或p真q真，

m>2或m<－2，－2≤m≤2，∴或

12或m<－2，或

11，

即实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．

故选D. 10．命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p是________．

答案：∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1

解析：因为綈p是p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论进行否定即可．

11．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：

①p∨q；

②p∧q；

③(綈p)∧(綈q)；

④(綈p)∨q. 其中假命题的序号为________．

答案：②③④

解析：显然命题p为真命题，綈p为假命题．

11∵f(x)＝x2－x＝x－22－4，

1∴函数f(x)在区间2，＋∞上单调递增．

∴命题q为假命题，綈q为真命题．

∴“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“(綈p)∧(綈q)”为假命题，“(綈p)∨q”为假命题．

12．[2019内蒙古包头月考]已知c>0，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.如果p和q有且仅有一个正确，则c的取值范围________．

10，答案：∪[1，＋∞) 2解析：由函数y＝cx在R上单调递减，得0

2c，x<2c，∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c. ∵不等式x＋|x－2c|>1的解集为R. 1∴2c>1，得c>2. 1如果p真q假，则0

1∴c的取值范围是0，2∪[1，＋∞)．

