小结教学设计方案

课题：数学归纳法（一）

成都市李家煜名师工作室 刘刚 邮编 610023 邮箱 cdqzlg@163.com

一、内容和内容解析 “数学归纳法”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书

数学（选修2-2）》中的内容，它可以完成通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立的命题的证明．

（一）数学归纳法的概念；

数学归纳法是在选修4-5中的第四讲：用数学归纳法证明不等式；

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：

（1）证明当n=n0时命题成立；

（2）假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立。这种证明方法称为数学归纳法。

（二）数学归纳法的历史；

最早在数学中采用递归思想的是古希腊数学家欧几里得，在《几何原本》中对“素数有无限多”的证明中已经有了递归证明的思想；

近代的意大利数学家F·毛罗利科，在《算术》中提出了递归方法的思路，他指出了这种方法的必要性，用例子加以说明，并未对方法做出清晰的表述；

法国数学家B·帕斯卡在《论算术三角形》中用数学归纳法证明了“帕斯卡三角形”（即贾宪三角）等命题。其中帕斯卡最先清晰而明确地指出了数学归纳法的第一、二两个步骤；

1686年，瑞士数学家伯努利在他的著作《猜度术》中，提出并使用了现代形式的数学归纳法；

现在使用的“数学归纳法”（matnematical induction）这一名称是英国数学家、逻辑学家德·摩根提出来的；

1893年，意大利数学家G·皮亚诺建立了自然数的公理体系，他把数学归纳法作为一条公理纳入正整数公理体系之中，此后，数学归纳法成为证明关于正整数的命题的首选方法，并且又发展出若干变形：如第二数学归纳法，倒推数学归纳法等等。

（三）数学归纳法的思想方法；

1、归纳思想：对于一个与自然数有关的命题P(n)，数学归纳法将命题P(n)理解为一系列问题：P(1),P(2),P（3），…即P（n）={P（n）|n∈N}，然后有命题P(1),P(2),P（3），…都成立去下决定“命题P(n)成立”，为数学归纳法中的归纳思想；

2、递归思想：在数学归纳法中，出了命题P（1）是直接证明的以外，我们通常不直接去证明命题P(2),P（3），…，成立（除非有必要），而是采取了递归的思想，简单的说就是由P(1)推得P(2),由P(2)推得P(3),这个过程类似于多米诺骨牌，其中归纳递推：P(k)=>P(k+1)起着至关重要的作用，正因为如此，在用数学归纳法证明命题时，有一点是不可回避的，即找出命题P（k）与命题P（k+1）的联系。

3、无穷思想：证明与自然数有关的命题的数学归纳法，几乎就是数学归纳法公理的“直译”。因此，数学归纳法的正确性的依据就是“自然数公理”。从而实现从有限到无限的跨跃；

（四）数学归纳法的错误使用；

1、忽视对起始命题的验证；

2、曲解归纳定义；

3、循环论证的错误；

4、对归纳步骤形式的套用；

二、目标分析

1、应用类比的方法，类比多米诺骨牌游戏和数学归纳法，将一块“骨牌”对应一个“命题”，某块骨牌

“倒下”对应某个命题“成立”，从而培养学生的类比推理能力．

2．借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；

3．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．

三、教学过程设计

1.从思考题中引入课题；感受学习数学归纳法的必要性；

引例：一个数列的通项公式是：an= (n2－5n+5)2，请算出a1= ，a2= ，a3= ，a4= ，猜测an＝? 2数学故事：费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，2+1一定都是质数，n这是他观察当n＝0，1，2，3，4时的值都是质数，提出猜想得到的．半个世纪后，18世纪伟大的瑞士科学2家欧拉（Euler）发现2+1

＝4 294 967 297 ＝6700417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5n这一结论便不成立． 【设计意图】说明由归纳猜想得到的结论不一定可靠。那么证明猜想的正确与否是自然的思考。

思考：通过计算下面的式子，

你能猜想出-1+3-5+···+(-1)(2n-1)的结果吗？证明你的结论。

【设计意图】提出如何去证明有关正整数n的命题，由于验证方法失效，故引起学生的求知欲，提出思考：要寻找一种使用有限个步骤，就能处理完无限多个对象的方法，以引入数学归纳法。

2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想；感知数学归纳法；

游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？

【设计意图】

通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质. 3、

在类比的过程中学习数学归纳法.

分析1：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立. n分析2：根据“任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下”，抽象出数学归纳法的第二步，即（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立. 分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都成立. 【设计意图】

抽象出“多米诺骨牌游戏”的本质.

4.数学归纳法概念的形成，形成数学归纳法；

数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：

（1）（归纳奠基）证明当取第一个值（2）（归纳递推）假设根据（1）和（2），可知命题对于从(,例如=1或)时,命题成立；

时命题也成立；

时命题成立,证明当开始的所有正整数都成立. 问题3:(1)为什么完成了“两个步骤和一个结论”就说明命题对所有的正整数都成立？

(2)为什么在证明命题时“两个步骤和一个结论”缺一不可？

【设计意图】

进一步理解“通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的情形. 5.数学归纳法的初步运用，理解数学归纳法；

例1：如果{an}是等差数列，已知首项为a1，公差为d，那么an=a1+(n-1)d对一切n∈N都成立。

【设计意图】通过例1解释数学归纳法的科学性，并总结出两个关键步骤。

6.深化对数学归纳法的理解；

例2、用数学归纳法证明1+3+5+…+（2n-1）=n²。

【设计意图】

通过解题过程，强调第二步的证明要明确出当n=k+1时需要证明的式子是什么。

7、课堂练习1、证明：n³+5n（n∈N+）能被6整除。

【设计意图】通过学生独立解题，让学生自省自己在用数学归纳法证明时可能产生的问题，一是要利用好归纳假设，二是要会恒等变形将式子变成n=k+1的形式。

8、错误反思之思考1、思考1：试问等式2+4+6++2n＝n+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？

【设计意图】让学生体会用数学归纳法证明命题时，只有归纳递推，没有归纳奠基是不行的． 9、错误反思之思考2：证明：任意n个中学生都穿同色的校服。其中n∈N+。

【设计意图】

用数学归纳法证明命题时，只有归纳奠基，归纳递推不完整也是不行的．

10、错误反思之思考3、下面是某同学用数学归纳法证明命题

你认为他的证法正确吗?为什么? (1).当n=1时,左边= …2*11++1创223+1n=的过程.n?(n1)n+11111= ,右边==

1´221+12 (2).假设n=k时命题成立

即那么n=k+1时, 11++1创223+1k=

k?(k1)k+1

左边=(1-111)+(-)+223+(111k+1-)==1-=右边, =k+1k+2k+2(k+1)+1即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确. 【设计意图】让学生体会数学归纳法的递推思想，要体现对归纳假设的应用。

11、数学归纳法的注意事项

①

明确首取值n0并验证真假。（必不可少）

②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。

③

分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时

命题形式的差别。明确左端在n=k的基础上应增加的项。

④

以n=k为基础，递推n=k+1成立，注意利用恒等变形的多种方法。

【设计意图】

根据错例反思总结使用数学归纳法的注意事项。

12、课堂练习2：用数学归纳法证明

12+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)．

6【设计意图】

进一步熟练数学归纳法证明命题的步骤，加深对数学归纳法本质的理解．

13.课堂小结

（1）数学归纳法能够解决哪一类问题？

一般被用于证明某些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题．

（2）数学归纳法证明命题的步骤是什么？

两个步骤和一个结论，缺一不可．

（3）数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用上,解题目标要明确（也就是人们常说的“双凑”：凑假设和凑结论）. （4）数学归纳法体现的核心思想是什么？ 数学归纳法是一种完全归纳法

，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题．它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．其蕴含的数学思想方法有归纳的思想，递推的思想，特殊到一般的思想，有限到无限的思想方法．等等．

【设计意图】

回顾和总结本节课的主要内容，提高学生对本节课知识的整体认识．