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必修1第三章函数与方程（复习课）

例1：某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝{400x12x,0x400

其中x280000,x400是仪器的月产量．当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润是多少？

【解析】试题分析：一般要根据题意写出利润关于产量的函数，注意不同条件对应利润不同，所以要写成分段函数，然后利用二次函数性质求最值，分段函数最值注意比较两段的最值得大小. 试题解析：（1）设月产量为x台,则总成本为20000+ 100x,从而利润

1x2300x20000,0x400,

fx{260000100x,x400.12有最大值25000；

x30025000,所以当x=300时，2当x>400时，f(x)=60000-100x是减函数，

所以f(x)= 60000-100×400<25000。

所以当x=300时，有最大值25000，

即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.

例2：某农场共有土地50亩，这些地可种西瓜、棉花、玉米．这些农作物每亩地所需劳力和预计产值如下表．若该农场有20名劳动力，应怎样计划才能使每亩地都能种上作物(玉米必种)，所有劳动力都被安排工作(每名劳动力只能种植一种作物)且作物预计总产值达最高？

当0≦x≦400时，f(x)= 作物

西瓜

棉花

玉米

劳力/亩

1/2 1/3 1/4 产值/亩

0.6万元

0.5万元

0.3万元

【解析】试题分析：设种x亩玉米(4≤x≤50)，y亩棉花(0≤y≤50)时，总产值为h且每个劳动力都有工作根据已知写出x,y,h的关系式h＝0.3＋x50xyxy0＋y.50－.6＋x50y

，

＋

＋＝20联立整理可得432h＝－

3x＋274x50，

最终可得x＝4,hmax＝26.4,y＝24. 201

试题解析：

解：设种x亩玉米(4≤x≤50)，y亩棉花(0≤y≤50)时，总产值为h且每个劳动力都有工作．

所以h＝0.3x＋0.5y＋0.6[50－(x＋y)]，且x，y满足，

＝20；

3x＋274x50，

，且x＝4k，k∈N，

20所以欲使h为最大，则x应为最小，

故当x＝4(亩)时，hmax＝26.4万元，此时y＝24(亩)．

故安排1人种4亩玉米，8人种24亩棉花，11人种22亩西瓜时，农作物总产值最高且每个劳力都有工作．

例3：某商品在最近100天内的价格f(t)与时间t的函数关系式是

50xyxy

＋

＋432整理得h＝－t22,0t40,tN*4ft{

t52,40t100,tN*2t109销售量g(t)与时间t的函数关系式是g(t)＝－

＋ (0≤t≤100)，求这33种商品的日销售额的最大值．

1212398【解析】试题分析：（1）设日销售额为S，根据已知可得S＝－

t＋

12322＋14411×

0t40,tN*

，S＝ (t2－213t＋104×109) 124640＜t100,tN*；分别求出最大值，综合讨论可得日销售额的最大值为808.5. 试题解析：

解：设日销售额为S，①当0≤t≤40(t∈N*)时，

S＝22

＝－t4t109 331 (t＋88)(t－109) 1212＝－ (t－21t－88×109) 1212123981441＝－

t＋

＋×

，

12312422当t＝10，或t＝11时，Smax＝808.5.

2

②当40＜t≤100(t∈N*)时，

S＝52



＝t2t109 331 (t－104)(t－109) 61

＝ (t2－213t＋104×109) 6为二次函数，它在区间(40,100]上是减函数，因此在靠近左端t＝41处取最大值，即当t＝41时，Smax＝714，由①②知日销售额的最大值为808.5.

例4：某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：

x

y

30 40 60 30 45 15 50 0 在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；

(2)

设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？

【解析】试题分析：（1）由题意画出所给的点，结合题意求解一次函数的解析式即可；

（2）结合（1）的结论和二次函数的性质整理计算即可求得最终结果．

试题解析：

(1)由表作出点(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0).如图，它们近似地在一条直线上，设它们共线于直线y＝kx＋b，

∴

解得

3

∴y＝－3x＋150，(x∈N). 经检验(30，60)，(40，30)也在此直线上. ∴所求函数解析式为y＝－3x＋150，(x∈N). (2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300，

当x＝40时，P有最大值300，故销售价为40元时，才能获得最大利润.

例5：已知函数f(x)＝lg(ax－bx)，(a>1>b>0). (1)求f(x)的定义域；

(2)若f(x)在(1，＋∞)上递增且恒取正值，求a，b满足的关系式. a【解析】试题分析：（1）要求ax﹣bx＞0，变量集中得（）x＞1，利用指数函数b性质求解；

（2）由增函数可得f（x）＞f（1），只需f（1）=lg（a﹣b）≥0即可得到a－b≥1．

试题解析：

(1)由ax－bx＞0，得＞1. 因为a＞1＞b＞0，所以＞1.所以x＞0. 所以f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(2)因为f(x)在(1，＋∞)上递增且恒为正值，

所以f(x)＞f(1)，只要f(1)＞0. 则lg(a－b)≥0，所以a－b≥1. 因此a，b满足的关系为a≥b＋1. 6．(1)见解析(2)见解析

【解析】试题分析：（1）直接根据因式分解得方程的根（2）根据零点存在定理确定区间端点处函数值符号异号即可

试题解析：证明：(1)法一：由f(1)＝1知f(x)＝1必有实数根．

法二：由f(x)＝1可得x2＋(2t－1)x－2t＝0，

Δ＝(2t－1)2＋8t＝(2t＋1)2≥0，

∴f(x)＝1必有实根．

(2)当0，f(0)＝1－2t＝2<0，f内＝＋ (2t－1)＋1－2t＝－t>0，所以方程f(x)＝0在区间(－1,0)及各有一个实数根．

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