习题2.3国家获奖教案

幂函数图像与性质

海南华侨中学

曾婕

11教学目标：1：了解幂函数的概念，会画出幂函数yx,yx,yx,y,yx2的图x23像，根据上述函数的图像，了解幂函数的变化情况和性质。

2：了解几个常见的幂函数的性质，会用他们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小。

3：进一步体会数形结合的思想。

教学重点：幂函数的性质

教学难点：幂函数性质的运用

教学方法、教学用具：直尺、彩色粉笔

教学过程：

一、问题情境

师生活动

同学们，我们先来看几个简单的问题

(1)

正方形的边长为x，面积为y。

(2)

正方体的棱长为x，体积为y。

(3)

一物体移动了y米，用的时间为x，速度为1米/秒。

(4)

某人骑车匀速前进1米，速度为x，时间为y。

由学生集体回答出y用x表达的关系式：

1yx,yx,yx,y。

x23我们再看一个问题：经调查，一种商品的价格和需求的关系如下表所示

价格/元

需求量/t 0.6 139.6 0.65 135.4 0.7 131.6 0.75 128,2 0.8 125.1 0.85 122.2 0.9 119.5

根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似的满足关系

y114.82x0.38

这个关系式与函数

yx0.38

是相关联的。



上述几个函数是指数函数吗？

上述几个问题实质上都是从一个实数集合到另一个实数集合的对应关系，我们从函数观点看，这是函数问题。由于上述几个函数的自变量在幂的位置，因而称其为幂函数。

二、意义建构

数学理论

1、幂函数的定义：

一般地，我们把形如

yx

yx2,yx3，yx12的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数

。

2、研究幂函数的图像：在同一坐标系中做出

列表; 的图像

x -4 16 63 /

-1 1 -1 / 0 0 0 0 1 1 1 1 4 16 64 2 yx2

yx3

yx描点

：12

于是，我们可以归纳出幂函数

定义域

R R yx值域

的性质

奇偶性

偶函数

奇函数

奇函数

非奇非偶

单调性

增函数

增函数

定点

（0，0）（1，1）

（0，0）（1，1）

（1，1）

（0，0）（1，1）

yx2

y0

R yx3

yxyx112x0

x0

y0

y0



所有幂函数在(0，+∞)都有定义，并且函数突袭轩昂都通过点（1，1）



如果>0，则幂函数的图像过点（0，0），并在(0，+∞)为增函数。



如果<0，则幂函数的图像过点（1，1），并在(0，+∞)为减函数。



当为奇数时，幂函数为奇函数，

当为偶数时，幂函数为偶函数。

三、数学运用

1、下列函数中式幂函数的有

2。

544yxyx

（1）y2x（2）y3

（3）

（4）y(x1)（5）

x解：（3）

（5）

点评：依靠定义

变题：已知函数过点（3，27），求该幂函数的解析式。

yx分析：利用待定系数法，设幂函数为，当x=3，y=27时，求出解：设幂函数为yx，因为图像过（3，27），所以273的值。

，求得3，故所求的函数的解析式为yx3。

142、挟持下列函数的定义域，并分别指出他们的奇偶性。

4yx（1）

（2）yx3yx

（3）

解析：根据幂函数性质，得定义域分别为R，x0，R.奇偶性分别为偶函数、非奇非偶、奇函数。

3、函数y(x5)3的图像必过点

。

分析：因为令30，利用图像必过（0，0），（1，1）即可。

x50或1,得x5或6，故定点为（5,0）（6,1）

。

2y(x3x2)变题：的图像必过定点

分析：利用

当>0时，图像过定点（0,0）（1,1），当<0时，图像过定点（1，1）的性质求定点。

4、比较下列各组数中两个值的大小：

11.51.50.710.72.53.10.2630.27（1），

（2），

（3），

分析：构造函数利用单调性来确定大小关系。

1.55.11.5yx2.53.1解：（1 ），因为1.5>0,所以在（0，+∞）为增函数，又2.5<3.1。故<.

( 2 )构造与第一题类似的函数，根据第一题可知，该函数在R上单增，故0.73<。

0.7（

3 ）构造函数所以yx1，因为-1<0，所以函数在（0，+∞）为减函数，又0.26<0.27，0.261>0.271

四、课堂练习

课本P75 练习

1—4

练习册：本章有关习题

五、课堂小结

本节课我们通过类比、归纳的方法，学习了幂函数的性质和图像，并运用性质，解决了比较大小、过定点等问题，渗透了分类讨论、数形结合、等价转换、待定系数法、特殊到一般等数学思想与方法。同学们在今后的学习过程中，要自觉运用这些思想方法研究问题，注重数与形的结合。