习题2.1优秀教案案例

指数与指数函数

1．根式的概念

n(1)若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

(2)正数a都有n次方根吗？负数a在什么情况有方根？

提示：正数a都有n次方根，且n为奇数时，n次方根是一个正数；当n为偶数时，n次方根有两个，且互为相反数．负数a当n为偶数时没有方根，当n为奇数时有方根．

温馨提示：根据n次方根的意义，可以得到根式的下列性质：

nn(1)(a)n＝a(a使a有意义)．

n(2)当n是奇数时，an＝a；

a，a≥0nn当n是偶数时，a＝|a|＝.

－a，a＜02．有理数指数幂

(1)正数指数幂的意义

n①正分数指数幂：a＝am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

m11②负分数指数幂：a－＝m＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

nannam③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

有理数指数幂的运算性质是什么？

＋提示：①ar·as＝ars(a＞0，r、s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；

③(ab)r＝ar·br(a＞0，b＞0，r∈Q)．

温馨提示：根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．

3．指数函数的图象及其性质

a>1

0

定义域

值域

R

(0，＋∞) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；当x<0时，当x>0时，0

01 在(－∞，＋∞)上是增函数

在(－∞，＋∞)上是减函数

温馨提示：指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．

mn

指数幂的化简与求值

化简下列各式：

11－271(1)0.027－－7＋292－(2－1)0；

32111－153－23－32(2)ab·(－3a－b)÷(4ab)·ab. 2627－32251[解]

(1)原式＝1 000－7＋92－1

105＝－49＋－1＝－45.

331151－331322(2)原式＝－2a－6b÷(2ab－)·ab

2151315－522＝－a－b－·ab＝－b1＝－. 42244b

指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．

1．化简下列各式：

27－370.5(1)(0.027)＋125－29；

(2)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)．

12521253解：(1)原式＝0.3＋27－

99559＝＋－＝.

10033100211115(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－

3262360＝4ab＝4a. 指数函数的图象及应用

1(1)(2012·高考四川卷)函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是(

) a2132112315662311

(2)方程2＝2－x的解的个数是________．

x

11[解析]

(1)法一：当a＞1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0＜1－＜1，aa排除A、B.

1当0＜a＜1时，函数y＝ax－是减函数，且其图象可视为是由函数y＝ax的图象向下平a1移个单位长度得到的，结合各选项知选D.

a1法二：因为函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象必过点(－1，0)，所以选D.

a

(2)方程的解可看作函数y＝2和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)．

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．

[答案]

(1)D

(2)1 x

指数函数图象的画法及应用：

1－1，.

(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，a(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

2.

函数f(x)＝a的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 －－解析：选D.由f(x)＝axb的图象可以观察出，函数f(x)＝axb在定义域上单调递减，所以0＜a＜1；

－函数f(x)＝axb的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0，故选D. x－b指数函数的性质及应用

1(2014·重庆名校联考)已知函数f(x)＝3ax－4x＋32. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

1－x－4x＋3[解]

(1)当a＝－1时，f(x)＝3，

令g(x)＝－x2－4x＋3，

由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，

1t而y＝3在R上单调递减，

2

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，

即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，

单调递减区间是(－∞，－2)．

1g（x）2(2)令g(x)＝ax－4x＋3，f(x)＝3，

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，

a＞0，因此必有3a－4

＝－1，a解得a＝1，

即当f(x)有最大值3时，a的值为1.

(3)由指数函数的性质知，

1g（x）要使y＝3的值域为(0，＋∞)．

应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0.

(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．

故a的值为0.

利用指数函数的性质可求解的问题及其解题思路：

(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小．

(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可．

3．(1)求不等式a＞a中x的取值范围；

1－x＋2x＋1(2)求f(x)＝2的单调区间．

解：(1)当a＞1时，y＝ax为增函数，

∴2x－7＞4x－1，∴x＜－3.

当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，

∴2x－7＜4x－1，∴x＞－3.

综上，当a＞1时，x的取值范围是(－∞，－3)；

当0＜a＜1时，x的取值范围是(－3，＋∞)．

(2)u＝－x2＋2x＋1在(－∞，1)上是增函数，

在[1，＋∞)上为减函数；

1u而函数y＝2在R上为减函数，

∴f(x)在(－∞，1)上是减函数，

在[1，＋∞)上为增函数．

忽视换元后新元的取值范围致误

11函数y＝()x－()x＋1在x∈[－3，2]上的值域是________．

421113[解析]

因为x∈[－3，2]，若令t＝()x，则t∈[，8]．则y＝t2－t＋1＝(t－)2＋.

242413当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.

243[答案]

[，57] 41

令t＝()x易忽视t的范围，误认为t∈R或t∈[－3，2]，从而结果错误．

222x－74x－1

解决一些由指数函数、对数函数、三角函数构成的复合函数、方程或不等式时，多采用换元法，将问题转化为简单且易于处理的函数、方程或不等式．求解时应注意新元的取值范围．

11如本例中把()x当成一个整体进行代换，然后配方，最后根据指数函数的性质确定()x22的范围，从而得出所求函数的值域．

已知x∈[2，16]，求f(x)＝(log2x)－3log2x＋2的最值．

31解：∵f(x)＝(log2x)2－3log2x＋2＝(log2x－)2－，

22设t＝log2x，∵x∈[2，16]，

∴12≤t≤4.

∴当t＝32，即log＝32x2(此时x＝22)时，

f(x)有最小值－14；

当t＝4，即log2x＝4(此时x＝16)时，

f(x)有最大值6.

∴f(x)的最大值为6，最小值为－14.

4