小结教案公开课一等奖

函数的奇偶性与周期性

适用学科

适用区域

数学

新课标

1.

奇偶性的概念

知

识

点

2.

3.

4.

5.

6.

奇偶性的判断

奇偶性的应用

周期性的概念

确定函数周期的方法

函数周期性的应用

适用年级

课时时长（分钟）

高一

60 学习目标

学习重点

学习难点

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性．

3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

函数奇偶性概念和函数奇偶性的判断

函数的奇偶性与函数的概念、单调性、周期性、对称性等的综合应用

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学习过程

一、复习预习

1、复习单调性的概念

2、复习初中的轴对称和中心对称3、预习奇偶性的概念

4、预习奇偶性的应用

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二、知识讲解

考点1

函数的奇偶性

奇偶性

偶函数

奇函数

定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

图象特点

关于y轴对称

关于原点对称

[探究]

1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？

提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．

2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？

提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？

提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．

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考点2

周期性

(1)周期函数：

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

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三、例题精析

【例题1】

【题干】判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)＝lg 1－x1＋x；

(2)f(x)＝x2＋xx>0，x2－xx<0；

(3)f(x)＝lg1－x2|x2－2|－2

. 5 / 18

1－x【解析】(1)由>0⇒－1

1＋x定义域关于原点对称．

1＋x1－x1－x－1＝－lg又f(－x)＝lg ＝lg＝－f(x)，

1－x1＋x1＋x故原函数是奇函数．

(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，

又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，

－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；

当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．

21－x>0，lg1－x2lg1－x2(3)由2得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f(x)＝＝－x2. －x2－2－2|x－2|－2≠0，

lg[1－－x2]lg1－x2∵f(－x)＝－＝－x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

－x26 / 18

【例题2】

【题干】(1)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(

) A．－3

B．－1

C．1

D．3 (2)已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)

A．f(－1)

B．f(0)>f(－1) C．f(－1)

D．f(－3)>f(－5) 7 / 18

)

【答案】A、A 【解析】(1)选A

因为f(x)为定义在R上的奇函数，

所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得

b＝－1. 所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. (2)选A

函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)

由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数．

选项A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)．

选项B中，0>－1，故f(0)

同理选项C中f(－1)>f(1)，选项D中f(－3)

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【例题3】

【题干】(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则flog162的值为(

) A．－52

B．－5

C．－12

D．－6 (2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是(

A．增函数

B．减函数

C．先增后减的函数

D．先减后增的函数

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)

【答案】(1)选C

(2)选D 3【解析】(1)选C

∵－3

2223333log2＝－1. log－log2∴f(log16)＝f12＝－f12＝－flog2＝－2－122222(2)选D

由f(x)在[－1,0]上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在[0,1]上是增函数．

由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，故2是函数f(x)的一个周期．

结合以上性质，模拟画出f(x)部分图象的变化趋势，如下图．

由图象可以观察出，f(x)在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．

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四、课堂运用

【基础】

1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(

) A．y＝x＋1

C．y＝1x

B．y＝－x3D．y＝x|x| 11 / 18

2．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式fx＋fx－x>0的解集为(

) A．(－2,0)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(0,2) D．(－2,0)∪(0,2) 12 / 18

3．(2013·广州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(

) A．f(－25)

C．f(11)

B．f(80)

【巩固】

4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.

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5．(2013·徐州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝2a－1，则a的取值范围是________．

a＋115 / 18

【拔高】

6．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(

) A．6

C．8

B．7 D．9 16 / 18

a7．已知函数f(x)＝x2＋x(x≠0，常数a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．

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课程小结

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