复习参考题教案设计

第10讲

函数图像及应用

一、教学目标：

1.会运用函数图象理解和研究函数的性质．

2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

3．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解

二、重点难点：

1.函数图像及运用

三、教学方法：“一学二记三应用”

四、知识梳理：

1．利用描点法作函数图象：其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)――→y＝－f(x)；

②y＝f(x)――→y＝f(－x)；

③y＝f(x)――→y＝－f(－x)；

④y＝ax(a＞0且a≠1)――→y＝logax．

(3)翻折变换

①y＝f(x)将x轴下方图象翻折上去――→y＝|f(x)|．

②y＝f(x)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象保留x轴上方图象关于y＝x对称关于原点对称关于y轴对称关于x轴对称

――→y＝f(|x|)．

(4)伸缩变换

①y＝f(x) 1a＞1，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变a→y＝f(ax)．

10＜a＜1，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变a②y＝f(x) a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变→y＝af(x)．

0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变3．辨明两个易误点：(1)在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．

(2)明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．

4．会用两种数学思想

(1)数形结合思想：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等．

(2)分类讨论思想：画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象．

没有比脚更长的路，没有比人更高的山，望子成龙助你走向人生的辉煌！

1

五．典例剖析：

考点一

作函数的图象

例1 作出下列函数的图象．

(1)y＝2x＋21；(2)y＝|lgx|；(3)y＝2. |x|

[规律方法]

画函数图象的一般方法：

(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．

(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出．

课堂练习1.作出函数y＝10|lg x |的图象．

例2(1)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是(

) 考点二识图与辨图

(2)【2018河南濮阳高三第一次模拟】函数1fx2x212x21的图象大致为

2（

）

A．

B．C．

D．

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2

(3)【2018山西吕梁高三上学期第一次模拟】函数x21fxx的图像大致为

e（

）

A．

B．

C．

D．

[规律方法]

函数图象的识辨可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

课堂练习2.(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0

)

(2)在同一平面直角坐标系中，函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称，现将y＝g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得图象是由两条线段组成的折线，如图，则函数y＝f(x)的表达式为________．

(3)．【2018浙江宁波高三模拟】函数的最大值为__________．

6x5,x1若存在x1x2，使得fx1fx2，则x1fx2fx{

．2x,x1（4）（宜昌市2018届高三4月调研考试数学）函数f(x)xcosx的图象大致是（ ）

1xx

3

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A． B． C． D．

考点三二次函数零点的分布问题

例3方程y＝x2－|x|＋a－1有四个零点，求a的取值范围。

课堂练习3

(1)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围。

(2)若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的两个实根α，β满足0<α<1<β<2，求实数t的取值范围．

(3)已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1在原点右侧至少有一个零点，求实数m的取值范围．

考点四函数图象的应用

函数的图象因其直观而形象地显示了函数的性质而成为高考命题的一个高频考点，常以选择题、填空题的形式出现．高考对图象应用问题的考查主要有以下五个命题角度：

(1)研究两图象的交点个数；(2)利用函数的图象确定方程根的个数；

(3)利用函数图象研究函数性质；(4)利用函数图象研究不等式的解；

(5)利用函数的图象求参数的取值范围．

例4（1）（角度一：研究函数的性质）已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(

) 没有比脚更长的路，没有比人更高的山，望子成龙助你走向人生的辉煌！

4

A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

（2）（角度二：确定方程根的个数）已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，

f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有(

)

A．10个

B．9个

C．8个

D．1个

变式1：函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内零点的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3

变式2：若定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，函数g(x)＝log3x－1

x>1x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为(

) 2

x≤1

A．9

B．8

C．7

D．6

x（3）（角度三：求参数的取值范围）若函数f（x）=| 2-2 |-b有两个零点，则实数b的取值范围是_____.

变式3：已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(

) 110，

B.，1

C．(1,2)

D．(2，＋∞) A.22x2－1（x≤0），变式4:已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则af（x－1）（x>0），－的取值范围为(

)

A．(－∞，1)

B．(－∞，1]

C．(0，1)

D．(－∞，＋∞)

（4）（角度四：求不等式的解集）函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]fx上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为______．

cos x[规律方法]

(1)利用函数的图象研究函数的性质：对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．

(2)利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标．

(3)利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．

课堂练习4

（1）若定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，函数g(x)＝log3x－1

x>1x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为(

) 2

x≤1

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5

A．9

B．8

C．7

D．6 log1x(2)已知a是函数f(x)＝2x－2的零点，若0

) A．f(x0)＝0

B．f(x0)<0

C．f(x0)>0

D．f(x0)的符号不确定

3x(0,)2时，（3）已知f(x)是R上奇函数，且周期为3，当f(x)=Sinx,求f(x)在0,6上的零点个数为_____

（4）已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0. (1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；

(4)根据图象写出不等式f(x)＞0的解集；(5)求当x∈[1，5)时函数的值域．

六、家庭作业：

x2，x<0，1．函数y＝x的图象大致是(

) 2－1，x≥012．函数f(x)＝－x的图象关于(

) xA．y轴对称

C．坐标原点对称

3、函数

B．直线y＝－x对称

D．直线y＝x对称

的图象大致是（

）

4、(

合肥市2018年高三第三次教学质量检测)函数fxxcosxsinx的图象大致为

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6

exex5、

(2018届湖南衡阳高中毕业班联考(三))函数f(x)2的部分图象大致是

xx2

6．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(

) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) 7.（2016年高考浙江卷）函数y=sinx的图象是（ ）

2

8．若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数f(4－x)的图象一定经过点________．

|lg x|，x>0，9．已知f(x)＝|x|则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．

2，x≤0.10．作出下列函数的图象．

x＋2(1)y＝|x－2|·(x＋1)；(2)y＝. x＋3

11.已知函数f(x)＝2x，x∈R.当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？

xm|x|,12.（2016年高考山东卷文理）已知函数f(x)2

其中m0，若存在实数b，使得关x2mx4m,xm于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________. 没有比脚更长的路，没有比人更高的山，望子成龙助你走向人生的辉煌！

7

2x(4a3)x3a,x012.(2016年高考天津卷文) 已知函数f(x)(a0且a1)在R上单调递减，且关loga(x1)1,x0于x的方程|f(x)|2

x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_________. 3家长评价或给教师的建议

教师对学生学习的评价

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