信息技术应用 用计算机绘制函数图象教学设计(第一课时)

函数的单调性

一、教材分析：

本小节是函数性质之一单调性，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质。在函数性质中具有举足轻重的地位。本节利用图像观察推导单调性判断方法，该方法再次体现了数形结合的主要思想。

二、教学目标：

(一)知识目标：

1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；

2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。

(二)能力目标：

1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力；

2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。

(三)情感目标

1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯；

2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。

三、教学重难点：

重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。

难点：函数单调性的判断与证明。

四、课型：新授课

五、教学方法、手段：

方法：启发引导与自主探究讨论相结合。

手段：多媒体辅助课堂教学。

六、教学设计思想：

我从生活中的实例导入，层层设疑，引导学生观察图像，数形结合，为了进一步研究单调性，接着给出了学生熟悉的函数

y2x，y2x，yx2图像，以这些基本图形为素材，逐步由形到数引导学生发现图像上升或下降时函数值的变化规律，再推广到一般函数，从而得出增减函数定义。学生归纳出判断的方法及步骤并进行简单的应用。

应用上：运用课本例2对应练习及思考题目利用讲练结合启发联想形式，例题讲解以启发引导为主，练习时放手让学生独立完成，体现自主特点。思考题让

1

学生能够举一反三，体会由特殊到一般的数学思想。

为了让学生掌握定义及判断方法培养严密的数学语言表达能力，我让学生自己总结，利于理解本节知识体系。

作业布置体现层次性，照顾各层次的同学。

教学

教学内容

教师活动

学生活动

教学

流程

意图

(一)以实际生引例1：五莲县昨天24小同学们每天从早上

情

景

导

课

时内的气温变化图．观察这张气温变化图

到中午又到晚上，我们都会明显感觉到气温在不断发生变化，其实，生活中处处有数学，这其中就蕴含了丰富的数学知识——函

你能看出一天中温度的变化趋势吗？

这种某一区域内函数上升或下降的趋势叫函数的单调性

怎么用数学语言来表述呢？

数的单调性。什么是函数的单调性呢？我们先从气温图中来体会一下

来看上节课的作业：3个函数图像

问题（1）：观察图像：你能说出这三个函数图像的变化趋势吗？

问题（2）：观察变量：x自左向右增大y值如何变化？

此问题比较简单，多数同学都能回答上来：

我能看出从4点到7点，7点到14点温度是升高的；从0点到4点，14点到24点温度是下降的。(学生举手回答，提问2个)

思考并回顾上节课留的作业题目。

观察回答：

积极思考

（小组讨论后，派代表抢答。此问题不难，同学们积极性会比较高，抢答同学也会如雨后春笋……提问2个同学）

同桌讨论后（自由回答，相对来说这个问题更简单，先起立的同学回答。提问1个同学）

活为例让学生感受到生活中处处蕴含着数学，激发学生的学习热情，学以致用。

引出下个引例

单调性表述的范围

引例2：

y2x

,y2x上升

,y2x是y随着x的增大而增大。

y2x

,y2x下降

,y2x是y随着x的增大而减小。

以学生较熟悉的函数图像入手会让同学联系旧知，熟悉感也倍增学习新知浓烈。

课件演示同学观察回答变化趋势，生动形象。

层层设问

逐步引导

合作探究

得出初论

2

教学

教学内容

流程

从图像和变量两个角度说明单调性的特征

教师活动

我们可以看出要更清楚的表述函数的单调性必须在一个区间范围内，单调性具有局部性。

谁能尝试用这两种方法给出通常定义？

而不管从图像上还是从变量上一般都要借助于图像来观察。

当不给图像的时候我们怎么判断函数的单调性呢？用增减函数的概念就可以解决了。

学生活动

为了检查一下听讲情况

举手回答（提问2-3个）

通过表格下通俗定义：

教学

意图

yx2

,0yx2下降0,yx2上升

,0yx2是y随着x的增大而减小。

,0yx2是y随着x的增大而增大。

我们通常定义具有以上这些特点的函数为增函数或是减函数。

由此可以发现我们所说的函数的单调性就是函数的增减性。

从气温变化图上截取了

(二)yfx图像进一步研究增减函数的性质：

课

程

新授

①

任取

Ax1,fx1Bx2,fx2x的增量xx2x1

同理学生小组合作讨论，培养血色很给你的合作精神和语言的表达能力。

提出局限性，激发学生思考其他方

法。

提出高难

度的问题

让给学生

感到富有

挑战，集

中听讲。

引出函数

单调性的

另外的特学生跟着老师的思路思点。

考增函数的定义的推导

学生跟着为减函数定义的推导作老师的思铺垫。

路走。

y的増量

3

教学

教学内容

流程

分析增减函数的性质

增减函数的定义

例题

教师活动

你能仿照增函数分析减函数吗？

注意比值是什么比什么！

教师引导

根据分析你能否总结出增减函数的概念呢？

函数在某点处无单调性可言，我们用开区间就可以。

例题讲解

学生活动

（讨论，找1个同学分析）

生分析减函数概念。

①任取Ax1,fx1，教学

意图

再加上刚才对解析式的分

析，此时再让学生给增减函数下定义应该是水到渠成。

接着引导学生给出用定义判断函数增减性的步骤也是游刃有余。这是本节课的重点与难点，培养学生的团结合作精神和概括能力。

学生学会用数形结合法分析问题体现数学上的转化思想

通过例题的讲解，学生了解单调区间与单调性的联系

yfx2fx1

②y0 x③

函数yfx在该区间为增函数。

Bx2,fx2

xx2x1

yfx2fx1

②y0 x

一般地，对于函数yfx在给定的区间上任意两个不相等的值x1，x2，当③yfx在该区间为减函数。

思考如何下定义。

（自愿回答，2个同学分别回答增函数和减函数的定义）

识记理解定义，并检查效果。硬性定义的提问一般都会有很多同学的踊跃参与，起立的同学以组为单位或是教师找代表进行检查（n个同学）

师生一起做例题。

单调增区间

y0时，函数yfxx在这个区间上是增函数；当y0时，函数xyfx在这个区间上是减函数；这个区间就是函数的单调区间。

例1：定义域是10,10，根据图像指出函数的单调区间，及每个区间上的单调性。

4,1，2,8函数为增函数

单调减区间10,4，1,2，8,10

函数为减函数

4

教学

教学内容

流程

跟进练习

教师活动

引导

学生活动

学生独立完成（提问1个同学）

单调增区间4,14

单调减区间

教学

意图

进一步熟练了区间与单调性的联系，锻炼了学生的观察能力

练习：函数yfx的

通过刚才的探究你能找出气温图中的单调区间吗？

0,4，14,24

应用例题讲解

例2：证明函数fx2x1在区间,上是增函数。

证明：①设x1，x2是脱离图像我们就最好用什么方法来判断函数的单调性？

教师根据定义一步一步进行分析

,任意两个不相等的实数。xx2x1，

yfx2fx1

=2x212x11

=2x2x1=2x

②k

集体回答：定义法

认真听讲思考定义法判断函数单调性的一般步骤

y2x20

xx③fx2x1在,上是增函数。

判断

函数增减性的步骤

①取点作差

②算比值k通过例题的讲解解决如下问题：1、定义域上任取两个不相等的值。

2、作差后的变形常常综合运用到不等式、配方等方法及时复习。

3、判断符号和增减性要对应好不要弄混淆

4、下论时一定带上范围

巩固所学

y

x

③判断

当k0函数在某区间为增函数；

k0函数在某区间为减函数。

从刚才我们的分析可以看出由定义法即由解析式判断函数单调性——增减性的步骤：（小组讨论）

讨论得出步骤，互相补充得出最后的步骤（3个同学）

同学们看课本理解本节所学内容，理清思路。

5

教学

教学内容

流程

练习跟进

教师活动

巡视观察

了解问题

找同学上黑板批阅后教师订正答案。

下面的同学同桌换过来批阅。

学生活动

黑板练习（2个同学）

解①在,上任练习：判断函数fx2x1在区间教学

意图

引申思考

课堂检测

,上是增函数还是减函数？

思考:由上述例2和练习讨论一次函数ykxb的单调性.

判断函数fx5x3在,上的单调性。

通过练习体会定义法判断函取两个不等的值x1，x2

数的单调性

xx2x1，

yfx2fx1

2x21(2x11)

小结一次2x212x11

函数的单调性，复2(x2x1)

习巩固初2x

中知识.

②y2x

2<0



xx争取当堂③函数fx2x1的类型题当堂消化在区间,上是同桌换着减函数

批阅

谈收获

根据表格谈谈自己本节课所学习到的内容

（同学们以自愿的形式谈收获，多个同学进行补充直至完整。）

教师出示完整表格形式。

用表格形式总结，本节课的重点知识一目了然，体现一一对应的关系，并标明了注意事项，对易出错的问题进行了重点强调。

(三)课

堂

小

结

①图像法

区间内，图像上升为增函数；区间内，图像下降为减函数

②变量值法

y随着③定义法

取点作差，

算比值，

判断

x的增大而增大是增函数；y随着x的增大而减小是减函数

同学们回顾一下本节课你都学到了什么收获到了什么。

本节课我们学习了判断函数的3种方法

注意

①函数的单调性也叫增减性

②函数的单调是对定义域内的某个区间而言

6

教学

流程

(四)布

置

作

业

教学内容

教师活动

学生活动

巩固练习

（学生有选择性的练习有能力的同学全做。）

教学

意图

打铁要趁热，及时巩固，作业分层次满足各个层次的需求让优生有事做，潜能生吃得饱。

结合板书对本节课的重点一目了然

1、

课后P54

2、（1）（2），

布置作业

2、课后P54

3（有能力的分层次进行

同学并结合2(2)思考能否说

1

fx的增区间为

x

,00,）？

(五) 3.3函数的单调性

增量：（可正可负不为零）

板

1、书

xx2x1

设

计

yfx2fx1

2、

定义：

一般的，对于函数yfx在给定区间上任意两个不相等的值x1，x2，当

教师边授新课边板书

根据板书了解本节的重点

y> x0时，我们就说函数在这个区间上为增函数，当y<0x时，我们就说函数在这个区间上为减函数。

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