习题2.1优秀课堂实录

指数函数的图象与性质

湛江市坡头区第一中学 范友玉

【教学目标】

1、知识与技能

能够根据解析式或图象,探究归纳出指数函数的性质,能利用图象和性质比较指数式的大小和解简单的指数型不等式。

2、过程与方法

（1）让学生根据解析式或图象,探究归纳出指数函数的性质,进一步体会指数函数的性质与底数的关系。

（2）通过特殊到一般的研究方法研究一个陌生问题是数学中一种常规的思维方式,是由表及里的上升循环过程,学习指数函数的性质是为了更好的研究具体函数。

3、情感、态度与价值观

在学习的过程中，体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如特殊到一般的过程、数形结合的方法等,增强学习函数的积极性和自信心。

【教学重点、难点】

教学重点：通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生亲身体会到函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式探究归纳出指数函数的性质。指数函数是学生完全陌生的一类函数,

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对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题。

【学法指导】分工合作、探究总结。

【教学过程】

上节课我们已经学习了一个新函数（指数函数）的概念。一、提出两个问题(约2分钟)

1、到目前为止我们研究函数一般研究些什么内容？

设计意图

让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(定义域、值域、解析式)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)。

2、上节课所学的指数函数是函数的一种，所以研究指数函数也是从这些方面去研究，那么研究这些内容能从哪些角度入手呢？（可用一元二次函数提醒）

可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究，当然要从具体的函数入手(即底数取定一些数值)，可以用列表法、观察法或借助一些数学思想来研究函数，只是具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！ 设计意图

①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；

②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透。

二、分组活动，合作学习(约10分钟) 师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指

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数函数进行研究。

⑴让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组从图象的角度入手研究指数函数；

⑵每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)；

⑶每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。

学情预设

考虑到各组学生层次有所不同，教师巡堂，对个别组做适当的指导并收集出现的各种结论。

设计意图

通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解。

三、交流、总结(约8分钟) 师：下面我们开一个成果展示会！

教师展示一些有代表性的小组的研究成果，并从几个方面对比从两个角度入手研究的结果和研究方法的优劣。

教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？

师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？比如：

⑴过定点（0,1）；

)x(a0且a1)图象关于y轴对称。⑵指数函数yax与y(1

a⑶f(x)f(x)1

此处可以灵活提问：

⑴所有的指数函数都过定点（0,1）吗？为什么？

⑵函数yax-2(a0且a1)过定点吗？定点坐标为___？

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xx)(a0且a1)图象关于y轴对⑶指数函数ya与y(1a称，能说明指数函数的奇偶性吗？

学情预设

①首先选一个从图象的角度研究的小组进行汇报；

②再选从解析式的角度研究的小组进行汇报；

③问其他小组有没有不同的看法，进行补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作让学生观察函数图象的变化。

设计意图

①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过解析式来论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。

②让学生汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；

③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破顺其自然。

④利用两个角度研究函数的性质，为学生指明学习方向，引导学生学会学习。

师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到。

教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪y＝ax的图

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象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。

师生共同总结指数函数的图象和性质，边总结边板书。

图象

0＜a＜1

定义域

值域

R

(0，＋∞)[来源学科网Z|X|X|K]

a＞1

过定点(0,1)性质[来源学科网][来源学§科§网]

非奇非偶

在R上是减函数

在R上是增函数

【以下流程，根据学生课堂探究情况，灵活选择内容释疑】

四、性质应用 (约8分钟) 例1、

已知指数函数f(x)的图象经过点（2,16），

⑴求f(x)的解析式；

⑵试比较f (3)

与f (π)

的大小；

⑶若f (x 2-3 x)

>f (4),求x的取值范围。

师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？

师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即列一个方程就可以了。

设计意图

⑴让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。

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⑵复习利用函数的单调性比较函数值的大小。

⑶利用函数的单调性根据函数值的大小可以得到自变量的大小。

⑷根据⑵⑶可以延伸出可以利用指数函数的单调性比较指数式的大小或者解指数型不等式。

五、巩固训练、提升总结(约10分钟) 应用1——比较大小：

（1）1.72.5,1.73

（2）0.8-0.1,0.8-0.2

（3）1.70.3,0.93.1

3a,a(a0且a1)

（4）【思路点拨】

(1) 直接利用指数函数y＝1.7x的单调性进行比较；

(2) 直接利用函数y＝0.8x的单调性进行比较；

(3) 需引入中间值1搭桥；

(4) 需对底数进行讨论。

应用2——解指数不等式：

x2x133（1）

.5（2）0

（3）ax2-x1x2-xa2(a0且a1)

对于形如af(x)＞ag(x)(a＞0且a≠1)的不等式，要根据a的取值，确定y＝ax的单调性，得出指数的大小，转化为一般的代数不等式。

六、课堂小结与作业(约2分钟) 师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？

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总结：通过这节课我们可以知道，两个角度都能研究函数，但它们各有优劣，图象是用特殊来归纳一般，它直观迅速但不严谨，解析式能严格的证明各种结论，但有时难以出结果，此时我们就可以借助图象这个工具打开思路，找到研究方向，再用解析式论证，所以它们是相辅相成的。这也是科学家们做研究的基本思路，我们也可以把它运用到数学中来。

学情预设

学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。

设计意图

①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其它函数的研究中去。

②总结本节课中所用到的数学思想方法。

③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。

④教学生出题，不但使学生学会研究，还能辅助学生建立起函数的框架结构，衍生出应用能力，使能力得到升华。

作业：课本习题2.1 A组

T7、8

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