探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系优秀教学设计说课稿

课

题：2.4.2

反函数（二）

教学目的：

⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明. ⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用；

教学难点：定理的证明（但教材不作要求）. 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．反函数的定义；

2．互为反函数的两个函数

与

间的关系：

----定义域、值域相反，对应法则互逆；

3．反函数的求法：一解、二换、三注明

4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点 (x,-y); ②点A(x,y)关于y轴的对称点 (-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点 (-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点 (?,？); 5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系. ①

的反函数是

②

的反函数是

二、讲解新课：

1．探究互为反函数的函数的图像关系

观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数

的图象和它的反函数

的图象关于直线

对称. 2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）

证明：设M(a,b)是

的图象上的任意一点，

则当x=a时，

有唯一的值 .

∵

有反函数

，

∴当x=b时，

有唯一的值

，

即点 (b,a)在反函数

的图象上. 若a=b，则M，

是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称. 若a b，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，P ，M 由两点间的距离公式得：

PM= ,P = ，

∴PM=P .

∴直线y=x是线段M 的垂直平分线，

∴点M, 关于直线y=x对称. ∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点，

∴

图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数

的图象上，由

与

互为反函数可知，函数

图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数

的图象上，

∴函数

与

的图象关于直线y=x对称. 逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数. 3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像

若

的图象已作出或比较好作，那么它的反函数

的图象可以由

的图象关于直线y=x对称而得到；

⑵求反函数的定义域求原函数的值域；

⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同

三、讲解例题：

例1．求函数

的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象. 解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0, ∴由y= 解出 , ∴函数

的反函数是 , 作 y= (x (-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为函数

的图象（如图）. 例2．求函数

的值域．

分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系. 解：∵

∴

∴

y≠

∴函数的值域为{y|y≠ } 例3 已知 = (x<-1)，求

；

解法1：⑴令 =y= ，∴ = --①，∵x<-1，∴x=- ;⑵∵x<-1，由①式知

≥1,∴y<0; ⑶∴ = - (x<0)；⑷ =-2. 分析：由y= 与y= 互为反函数的关系可知：当y= 中的x=a时y=b，则在y= 中,当x=b时y=a，本题要求

，设其为u，说明在函数 =y= (x<-1)中，当y= 时，x=u，问题转化为知原来函数中的y= 而求x. 解法2：令 = ，变形得 =1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.

说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果. 四、练习：课本P63－64练习：5，6，7 补充：设函数y= 的反函数为y= ，求y= 的反函数. 解：在函数y= 中，x为自变量，y为函数，且由题意知-x= , ∴x=- ，∴y= 的反函数为y=- ，

又∵ = ,∴y= 的反函数为y=- .

五、小结

本节课学习了以下内容：

1.互为反函数的函数图象间关系，

2.求一个函数的反函数图象的方法，

3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性

六、课后作业：课本P64习题2.4：2 答案与提示：2.y= = ,x∈[0,5]; 补充：⒈求下列函数的反函数：

⑴

；⑵y= -6x+12(x≤3);⑶y= (x≤-2). ⒉已知函数y=ax+2的反函数是y=3x+b，求a,b的值. 答案：⒈

⑴y=- (x≥0);

⑵y=3- (x≥0); ⑶y=- -2(x≥0). ⒉a= ,b=-6;. 七、板书设计（略）

八、课后记：