阅读与思考 集合中元素的个数教学内容

集合的含义及表示教案

湛江一中

叶翠林

内容

集合的含义与表示

要求层次

A B C √

具体要求

了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．

能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．

考点1：集合的概念

1．⑴

集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．

如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素．

⑵

一般情况下，集合用英文大写字母A,B,C,表示．元素用英文小写字母a,b,c,表示；

⑶

不含任何元素的集合叫做空集，记作．

集合含义的理解

对于集合的含义，我们需要注意集合首先是一个整体，所有满足条件的对象都必须在这个集合中．

“能够确定”是指有明确的可界定的规则，每一个对象是不是在范围中都能得到客观判定．

理解这个要注意以下三点：

①界定的规则一定是一个客观的属性，不依赖主观的感觉；

如：中国所有的比较老的人不能构成一个集合；

中国所有年龄在60岁以上的人可以构成一个集合；

这种类型的例子很多，如我们班同学中比较高的人不能构成一个集合，因为姚明与潘长江的标准会很不相同，但给身高一个标准就构成一个集合了，如高于160cm的人．

再如我们班比较帅的人，比较漂亮的人，这个因为有审美观的主观差异，还有情人眼里出西施的特殊情况，所以都不能构成集合．

在数学上，由于数学本身的严格，这个东西会变得简单，如方程x23x20的根；小于等于3的实数都可以构成集合；

②这个整体如果客观存在，即使不知道也不影响确定性．

如：我们班头发根数最多的4个人．世界第五高的山峰；

存在，虽然你并不知道．但它们都能构成集合．

③方程x210的实数根能不能构成一个集合呢？

我们可以判定任意一个实数都不在其中，所以它可以构成一个集合，这个集合就是什么都没有的集合，叫做空集，用表示．

再如，小于3又大于3的集合．我们班既是男性又是女性的同学．都是空集．

下面可以构成集合的有_______．

①中国人口排在第8-12位的城市；②到两定点的距离的和等于两定点间的距离的点；

2③高一数学课本中的难题；④方程x20的实数解；

正解：①②④．

2．元素与集合的关系：

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作aA；

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作aA．

3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

Q

N或N

N

Z

实数集

R

练习1 用，填空．

①1___N；②3___N；③⑦π___R；

；；；；；；．

21__Z；④3.14___Q；⑤5___Q；⑥___R；22

4．元素的性质

①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．

②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个．

③无序性：集合中的元素是无次序关系的．

【例1】

⑴若a2，a是一个集合中的两个元素，实数a应满足什么条件？

设xR，将对象x，x，x2，3x3，4x4，2x4组成集合M，则集合M中元素最多时有（

）

A．3个

B．4个

C．5个

D．6个

⑶下列叙述中正确的个数是（

）

①若aZ，则aZ；②若aN，则aN；

③aZ，若aN，则aN；④aZ，若aN，则aN．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

【解析】

⑴

a0且a1；

⑵

A ⑶

C；

讲完集合的概念与元素的性质之后，我们自然需要知道如何把一个集合与数学的语言表示出来．下面，我们来看看集合的表示法．

⑵

考点2：集合的表示法——列举法与描述法

5．集合的表示法

⑴

列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，

并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．

3，4，5}，{1，2，3，4，5，}．

例如：{1，2，

【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现1，2，3，，100}，一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0，1，2，3，}．

自然数集可以表示成{0，有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程x2x60的解集可以写成{2，3}；直线y2x与直线yx2的交点集合可以写成{(0，0)，(2，4)}．

⑵

描述法（又称特征性质描述法）：

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{xA|p(x)}，p(x)称为集合的特征性质，x称为集合的代表元素．A为x的范围，有时也写为{x|p(x)，xA}．

例如：大于3的所有整数用描述法表示为{xZ|x3}．

方程x2x60的实根用描述法表示为{xR|x2x60}．

【注意】

①描述法给出了一个客观的标准，用{|}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．

②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为(x，y)．

如：{(x，y)|yx2，xR}，说明集合是点集，点(x，y)满足yx2，故集合中的点在抛物线yx2上，即此集合表示抛物线yx2上所有的点．

③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{x|x2}与{y|y2}表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．

练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：

①A{xR|x210}；②B{xZ|x210}；③C{xN|x210}；

④D{(x，y)|x2y20}；⑤E{(x，y)|yx1，且y2x}．

0)}；⑤{(1，2)}．

①{1，1}；②{1，1}；③{1}；④{(0，

练习3：用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：

yx1①{xR|x2k1，kZ}；②{xR|x2k，kZ}；③(x，y)|．

2yx①由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．

【例2】

请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．

A{xR|yx21}，B{yR|yx21}，C{(x，y)|yx21}．

【解析】

A：描述的是实数x，x满足xR；AR；

B：描述的是实数y，yx21≥1，B{y|y≥1}；

C：描述的是点(x，y)，表示抛物线yx21上所有的点．

3，4}，b)|aA，bA，abA}，【例3】

⑴已知集合A{1，2，集合M{(a，用列举法表示

集合M_________________．

201020102010N，aN，集合N|N，aN，⑵已知集合Ma|5a5a5a则用列举法表示集合M________，集合N_______________．

⑶集合Ax|x2k，kZ，Bx|x2k1，kZ，Cx|x4k1，kZ，

又aA，bB，则有（

）

A．abA

B．abB C．abC

D．ab不属于A，B，C中任意1个

(2，1)，(1，3)，(3，1)，(1，1)，(2，2)}．

【解析】

⑴

M{(1，2)，3，4}，N{402，670，1005，2010}；

⑵

M{0，2，⑶

B

【备选】

集合A(x,y,z)x2y2z24xy3y2z,x,y,zR中有（

）个元素．

A．0

B．1

C．2

D．无数

【解析】

B

考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法

⑶

图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn）图．

图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．

bR，且ab，

⑷

区间表示法：设a，定义

{x|a≤x≤b}

名称

闭区间

开区间

左闭右开区间

左开右闭区间

一类特殊的区间

符号

[a，b]

(a，b)

[a，b)

(a，b]

[a，)

aaa数轴表示

bbbx

x

x

{x|axb}

{x|a≤xb}{x|ax≤b}{x|x≥a}

aabx

x

{x|x≤a}

{x|xa}

{x|xa}

(，a]

(a，)

ax

ax

(，a)

a实数a与b都叫做相应区间的端点；“”读作“正无穷大”，

“”读作“负无穷大”．

实数集R也可以用(，)表示．

练习4：将下面的集合表示成区间：

⑴{x|1x≤2}；⑵{x|2x40}；⑵{x|42x≥0}．

：⑴(1，2]；⑵(2，)；⑶(，2]．

x

【例4】

把下列集合表示成区间

⑴{x|x≤1}；⑵{y|yx22x}；⑶{y|y2x22x1，1x1}．

11]．⑵(，1]；⑶，5．

【解析】

⑴[1，2

教学反思：集合是学生进入高中学习的第一节课，是学生学好数学必须掌握的一个知识点。这节课难度不大，但是概念多，符号多，容易混淆，需要学生理解记忆根据教材内容编排一系列问题，让学生经历知识的发生、发展过程，积极投入，充分发挥学生的主体作用。