3.4.1 函数与方程课程导入及其完整教案

函数与方程（第一课时）

——利用函数性质判定方程解的存在

渭南高级中学 韩小伟

教学目标：

1，能从不同角度认识同一事物的区别与联系，归纳并整理出零点定义。

2，通过探究连接x轴两侧的两点的方法，说出零点存在性定理，并能用符号语言表达出来。

3，通过问题的解决，培养学生化归转化和数形结合以及函数与方程的思想方法。

教学重点：理解方程的根与函数零点的关系，体会函数与方程的思想，掌握方程解的存在性的判定方法。

教学难点：方程解的存在性的判定。

教学过程设计：

一、情境导入，揭示主题：

引：《经典咏流传》，首先让我们一起把这首诗读给大家听。

论：这首诗意境悠远、充满哲理，苏轼想告诉我们一个什么道理呢？

归：同一个事物，不同的观察角度会有不一样的收获。今天，就让我们借苏轼一双慧眼，来看数学中的庐山，它将会以怎样的秀丽身姿出现。

引：y=x+1 论：你怎么看？函数、方程、直线。

归：函数与x轴交点的横坐标、相应方程的根、

思考：对于一般的函数与方程是否也有上述的结论成立呢？

定义：函数的零点——我们把函数yf(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点

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思考：函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图象与x

轴交点的横坐标，三者有什么关系？

函数的零点函数图像与x

轴交点的横坐标方程的解

巩固练习

：求下列函数的零点. (1)f(x)x6 (2)f(x)x2x6 (3)f(x)x5x6

小结：求函数的零点的方法，强调化归与转化的思想，但方程0x5x6不会解，甚至不知道有没有解！

点题：利用函数性质判定方程解的存在

二、引导探究，生成新知：

引：在两侧有A,B两点，请用线连接这两点

论：你有多少种连接方法？观察与x轴交点情况，它们的的共同特点是什么？

如果这条曲线就是函数yf(x)的图像，你能给出判断函数存在零点的方法吗？

归：方程的解的存在定理：若函数在闭区间上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a,b)内函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a,b)内至少有一个实数解

辨析题： 注意：（1）强调两个条件及关键字“连续、至少”

（2）定理不可逆，否命题也不成立。即下面两个结论是错误的：

①函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点f(a)·f(b)<0。

②若函数yf(x)的图像连续，且在区间(a,b)上f(a)f(b)0

则yf(x)在区间(a,b)上没有零点

三、学习致用、理解感悟：

引：示范，解决引例问题

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论：例1：判断下列方程是否有解？

（1）x10， （2）xlgx0 x总结：解方程、判断方程在给定区间解的存在性的判定方法：构造函数计算端值得出结论

例 2 求函数f(x)=lnx +2x-6的零点的个数. 方法1：利用方程的解的存在性定理和该函数的单调性可以得出函数在定义域上有且仅有一个零点

方法2：构造两个函数的交点，得出唯一的解的结论，体会函数和方程之间转化的思想

四、回顾总结、提高认识：

1.知识点小结： （1）函数与方程的关系以及函数与不等式的关系. （2）判断函数yf(x)零点的方法：

①解方程f(x)0，根据方程解的情况找函数零点；

②当无法解方程f(x)0时，利用函数零点的定义进行判定；

③利用函数图像判断函数的零点. 2.思想方法小结：数形结合、转化的思想

五、作业布置、分层拓展：

1、基础题：P119,A组：1,2,422、发展题：已知,函数f(x)2a的一个零点在1,2内，

x 求：实数a的取值范围.x

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六、板书设计：

利用函数性质判定方程解的存在

一、函数的零点的概念：

多媒体投影区

二、方程的解的存在性定探究区

理：

示范：引例

演练：例1、2

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