3.4.1 函数与方程教学设计内容推荐

函数的零点教学设计

整体设计意图

本节课的重点是探究如何用函数的零点联系方程的根和函数图象与图象交点的横坐标的关系、以及零点存在性定理的探究及应用。设计思路是：（1）通过具体例子引导学生分析体会函数与方程的关系,同时体会函数的零点是联系方程与函数图象的重要概念，培养学生的逻辑推理素养.（2）由特殊到一般，借助于直观想象并抽象概括得到零点存在性定理，该环节的抽象概括是促进学生形成抽象素养的重要途径之一，通过对存在性定理的辨析让学生辩证理解直观想象与抽象的关系：即数学抽象离不开直观想象，但直观想象的结果不能迁移为抽象.(3)通过灵活应用零点存在性定理解决方程根的问题，体会函数与方程的思想.

学习目标

1．会用函数图象交点解释方程的根的意义；了解函数的零点与方程根的联系．

2．学会使用零点存在性定理证明函数在给定区间上有零点．

3．在零点存在性定理的探究过程中，学会借助于直观想象发现并提出问题，并通过数学抽象形成一般结论．

4．了解有特殊到一般，再由一般结论研究具体问题的学习方法，促进逻辑推理素养的形成，体会本节课用函数研究方程根的解决问题思路，感受数形结合的解决问题的有效性．

预习与展示

问题1

（1）求解方程x2x60的根．

（2）方程x6x30有根吗?

设计意图：学生无法直接回答“（2）方程x6x30有根吗?”. 通过这一认知冲突的创设，激起学生解决这一问题的心理需求，同时引出本节课的研究内容：在方程不易求根的情况下，如何判断根的情况?(选择六次方程引入的原因是这个方程无法代数求解).由具体的一元二次方程和二次函数入手，通过数形结合引导学生发现方程根与函数之间的关系. 问题2

作出函数f(x)x2x6的图象，观察函数图象与方程x2x60的根有什么联系?

方程x2x60的根

函数f(x)x2x6的值为0的实数x,称为函数yf(x)的零点. 函数f(x)x2x6图象与x轴交点的横坐标

设计意图：同时由于观察图象有不准确性的局限，引导同学解释为什么方程的根就是函数图象交点的横坐标，强调这个的目的是让学生体会到虽然方程的根与对应函数的零点是本质上是一样的，但方程的根是零点在数上的解读，函数图象与x轴交点的横坐标是函数的零点在形的解读，函数的零点是联系函数与方程、数与形的桥梁。这里使用的正是渗透逻辑推理素养和培养化归转化思想。个人认为零点的概念很简单，重点应该是让学生体会为什么要引入函数的零点的概念，如何用函数的零点实现方程的根和函数图象交点横坐标的推理及转化过程，以后学生还会遇到不同的方程比如等号两边都有函数的方程，怎么同函数图象联系起来？也还会用到这样的推理过程。

1

问题与探究

问题3

根据上面研究函数与方程的方法，试着研究当a0时，二次函数f(x)ax2bxc的零点、二次函数f(x)ax2bxc的图象与二次方程ax2bxc0的实数根之间的关系．

b24ac

方程0

0

0

ax2bxc0的根

x1,x2(x1x2)

x1x2b

2a方程无实数根

f(x)ax2bxc的零点

y

y

y f(x)ax2bxc的图象

O x

O x

O x

设计意图：这个问题的作用是帮助学生巩固零点的概念.印证函数的零点也是函数图象与x轴交点的横坐标，也是相应方程的根，这个表格与课本上P92的表格相比交换了函数f(x)ax2bxc的图象和函数f(x)ax2bxc的零点这两行的顺序，想凸显出方程---用函数零点表述方程到再通过函数零点用图象描述这一探讨方程、零点、图象交点横坐标三者关系的逻辑顺序。

探究一：判断函数f(x)x22x1在区间(2,3)上是否存在零点．

设计意图：这道题学生更容易想到用方程解题，但教材设计这道题的意图除了想体现方程与函数零点的练习，更是想引导同学关注利用函数图象解决零点问题，这样提供一个不用求根从而探究根的情况的方法，为引出零点存在性定理作直观想象的铺垫，因此在用函数这个方法的探究上应让同学充分思考，让同学体会到不用求根也可以解决问题，同时零点存在性定理的两个条件端点值的正负和图像不间断(这里体会图象不间断，不一定要求学生回答一定是函数图象不间断，只要是能体会到图象不间断、图象在x(2,3)之间穿过x轴或函数的取值从负到正连续变化，函数在x(2,3)函数值可以取到0中的任意一点即可).

思考：若函数yf(x)为二次函数，则它满足下列

哪个条件时,函数yf(x)在a,b上有零点？

（1）和（2）

（1）fa0,f(b)0

（2）fa0,f(b)0

（3）fa0,f(b)0

（4）fa0,f(b)0

2

追问探究：若x0是二次函数yf(x)的零点，且x0a,b，那么f(a)f(b)0一定成立吗？

若函数yf(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线且f(a)f(b)0，则yf(x)在区间a,b上有一个零点.（

）

设计意图：这类问题有助于学生清晰理解定理的条件与结论，明确认识定理的局限性.在反复举例与辨析的过程中，充分运用学生头脑中的趋势性函数图象，也有利于促进学生抽象与直观想象思维模式的有机融合，更有利于培养学生的创新思维，这一人才培养的目标。

片7.探究二呼应导入阶段遗留的问题，一个重要思想是将无法求解的方程问题转化为零点存在问题，这一过程促使学生体会方程与函数的思想.变式题是为了让学生体会到借助零点存在性定理探究方程的根，只是用函数探究方程的一个起点，以后还会有更多的问题需要用函数探究方程.

探究二：求证：函数f(x)x6x3在区间1,2上有零点．

设计意图：引导学生在体会用函数研究零点问题的基础上，把函数变为一般的二次函数，再把一般的二次函数变为任意函数探究零点存在性定理，的这一过程，引导学生利用直观想象再通过抽象概括用数学语言特别是符号语言表达函数在区间内有零点图象特点,进而形成零点存在性定理.渗透对直观想象和数学抽象素养的培养，并渗透由特殊到一般的探究问题思路.

巩固与提升

1．

求证：二次函数f(x)2x23x7有两个不同零点．

2．求证：函数f(x)x3x21在区间2,1上存在零点．

小结与反思

通过本节课的学习，你有什么收获?

3

2．数形结合思想，函数与方程思想．

3．由特殊到一般的研究问题的思路．

课后作业：

1.已知函数f(x)3xx2，那么方程f(x)0在区间1,0上有实数解吗？有几个实数解？

2.方程lgx3x有实数解吗？有几个实数解？

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