11.1 反比例函数教学内容

《反比例函数章节起始课》

教学设计

南京市孝陵卫初级中学

李琛

一、内容和内容解析

1．内容

反比例函数章节起始课

2．内容解析

函数是刻画现实世界一种模型，在分析和解决实际问题中有着广泛的应用．而反比例函数是一种特殊的函数，它体现了一种变量关系：自变量和函数值呈反比例关系，或者说，在变量y随着x的变化而变化的过程中，它们的乘积xy始终保持不变．反比例函数的图像和性质也有着自身的特点，比如它的图像是双曲线，对它的性质讨论有时需要分象限等等，所有这些，可以帮助我们解决更多的问题，探索更多的领域．

章节起始课是一章开始的第一节课，对于起始课，我们通常解决三个问题：

Why——为什么学？学习这一章内容的必要性是什么．

What——学什么？这一章的研究对象是什么，要研究哪些方面．

How——怎么学？我们可以用哪些方法来研究，我们需要准备什么，会有什么困难．

因此，在章节起始课中，我们一方面要对本章知识提前“泄密”，同时关注方法、思想的启发渗透．而在“泄密”时，特别注意整体架构和体系的初步建立，让学生在润物细无声中进入本章的探究．所谓“自然而不失惊喜，平稳而不失惊险”，在低起点中，逐渐迈入本章的殿堂．

另外，章节起始课具备一定的示范作用，方法的迁移可以帮助学生迁移到其他函数甚至代数其他领域的学习中去．

基于以上分析，对于《反比例函数的章节起始课》，本节课的重点为：

类比一次函数学习过程，探索反比例函数的研究内容和研究方法．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）经历探索现实生活中数量间的反比例关系，体会反比例函数是刻画现实世界数量关系的数学模型．

（2）类比一次函数的研究内容，形成反比例函数的研究思路，明确反比例

函数学习哪些内容，完成全章内容的整体建构．

（3）类比一次函数的研究方法，对反比例函数的“寻找变量——建立模型——图像性质——拓展应用”进行初步探索，再次体会学习函数的方法．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：在具体情境中，理解两个变量之间的关系，会判断这个关系是否为函数关系，若是，则在此基础上表示这个函数，进一步判断是否为反比例函数．同时，可以在条件不明确的情况下，通过待定系数法等方法确定反比例函数表达式．另外，能用反比例函数解决简单问题．

达成目标（2）的标志是：通过回顾一次函数的研究过程，明确本章将从“概念——图像与性质——应用”这几个方面进行研究．在课上经历进行归纳概念、画图像、探性质、思应用的过程．

达成目标（3）的标志是：在数形结合、对应与变化的思想引领下，通过对反比例函数这一章的初步建构，培养学生良好的思维品质，提高学生的思维能力，对于其他的未知的新函数，也可以根据积累的活动经验，尝试探究并得出一定的结论．

三、教学问题诊断分析

学生已经经历了一次函数的学习过程，宏观上，经历了从问题背景到抽象模型到探究性质等过程，微观上，也完成了画图、计算等任务，但是由于教材“螺旋式”上升的设计，时间上有一定的跨度，虽然在回顾中障碍不大，但也要注意方法和技能的间歇性缺失．

而反比例函数本身相比一次函数更加复杂，虽然学生刚刚结束“分式”的学习，在“外观”上对反比例函数的关系式并不陌生，但是反比例函数尤其是它的图像无论是形态还是结构，都比一次函数甚至未来要学习的二次函数要复杂，基于这个背景，对反比函数“究竟说了什么”，学生会有一定的困难．

在之前的学习过程中，知识的发生过程，不一定得到每个孩子的重视，一味解题而忽视体系的建立和知识与方法的融会贯通，往往使得事倍功半．本节课的出发点，是章节起始课，易放不易收．在本章诸多头绪前，应注意“形散神不散”．

函数，讨论的是变量的关系，其种类繁多，反比例函数只是沧海一粟，基于对反比例函数和章节起始课的考虑，确定本节课的难点为：

积累反比例函数研究的基本活动经验，感悟的函数的研究方法．

四、学情分析

在本章学习之前，学生已经学习了一次函数，在如何研究函数方面有积累了一定的方法与经验，所以在本节课，乃至本章的学习过程中，渗透、归纳函数的研究方法，适时与一次函数比较，寻找反比例函数与一次函数的“同与不同”，不仅仅关注反比例函数，也关注函数，甚至可以站在函数、方程、不等式等更高领域去看．

学生容易出现的主要错误或者困难有：不知道整体的研究思路，比如提到函数，只知道画图，并不能很好的思考为什么画图以及图像能带来什么；不明确函数的概念，比如在问题情境中，错误的用“已知”、“未知”来刻画问题，而不是“常量”、“变量”，把函数问题等同于方程问题；在对反比例函数图像进行初步尝试时，对象限、分支等诸多细节把控不好；对变量范围的讨论，不注意实际背景，或者简单的转化为不等式问题．

而对于本节课作为章节起始课这个特征，“知道要做什么”，可能比“究竟解决了什么”，更为重要．

五、教学过程设计

1．情境引入

问题1 南京与上海相距300千米，一辆汽车从南京出发，以速度v（km/h）开往上海，全程所用时间为t（h）．

对于这个背景，你想到了什么？

设计意图：朴素的背景，引出一个再常见不过的问题：行程问题，你想到了什么？让学生们充分讨论这个生活背景下蕴含的数学内容．常量、变量、关系式，逐渐引申到“函数”，是函数吗？是什么函数呢？通过最普通的背景，说出最丰富的内容，原来函数就这样存在于我们的生活之中，突出了学习函数的必要性．

2．概念归纳

问题2 你能再举几个这样的例子吗？

问题3 这些例子有哪些共同特征？

问题4 你能给他们起个名字吗？

设计意图：之前对于函数的讨论，得出了一些特征，再举几个，仍然突出实际问题抽象出函数模型，只是模型的特征更加明显和统一：首先是函数，其次变

k量乘积为定值，再者可以表示为y＝x．在自主举例中，更加深刻体会了特征，使得概念归纳更为有效．

3．深入研究

问题5关于反比例函数，我们“研究什么”、“怎么研究”？

追问1

你是怎样想到的？

追问2

你可以自己尝试研究并得出一些结论吗？

设计意图：鼓励学生自主探索反比例函数的研究内容和研究方法，教师通过追问学生是怎么想到的，让学生回忆一次函数的学习经验，进行类比，研究反比例函数．类比一次函数的学习，反比例函数从概念、图像性质、运用等方面展开，完成本章内容框架的建构，形成本章的“导游图”，起到了“章节建构课”引导学生明确“学什么”的作用．

让学生自主尝试反比例研究，比如，在画图的过程中类比一次函数图像，追问出反比例函数的一些性质．类比一次函数研究的过程，是一个由实际问题到数学模型的抽象过程，是一个由特殊到一般的转化过程，是数形结合的渗透，是变化与对应的再次感受．这样的设计为后续具体研究反比例函数提供了探索的方法，起到了“章节起始课”引导学生“如何学”的作用．

当然，在其中有很多细节去把控，比如画图，画哪一个函数图象呢？画完以后做什么？得到的性质有什么用？究竟探究到哪一步？

4．回看情境

问题6

A、B两地相距

（km），一辆汽车从A出发，以速度

（km/h）开往B，全程所用时间为

（h）．

你来填空，你又想到了什么？

设计意图：回头看，还是那个背景，还是那个关系，只是都是空白，自主填写，站在更多元的答案下，思考更广阔的联系，常量是谁？转化自如．从生活中来，到生活中去．

5．小结思考

问题7

请你用“关键词”小结．

设计意图：引导学生从研究内容和研究方法两个层面，用关键词小结本节课的收获，建立知识间的内在联系．

6．作业设计

两人一组，完善本节课导游图．

六、目标检测设计

1根据今天的研究经验，你能说说如何研究函数y＝x＋x吗？

设计意图：章节起始课，尤其是在函数背景下的反比例函数，比会解几道题更重要的是，关注方法的迁移．

七、教学反思

1．以探索为主线 反比例函数的单元教学，要完成对反比例全章内容的整体建构，重在引导学生“为什么要学”、“要学什么”、“如何学”．

从现实中抽象，并让学生自己在生活中举例，多次感受反比例函数在现实生活中是普遍存在的，明确为什么要学．

通过对研究内容的探究，类比一次函数的研究过程，提出反比例函数研究的整体思路，明确将要学什么．

通过自主操作，追问“如何想到的”，感受类比一次函数来学习反比例函数的方法，对反比例函数的“寻找变量——建立模型——图像性质——拓展应用”进行初步探索，明确如何学．让学生充分体会探究的过程，在探究过程中收获成功的喜悦．

2．以整合为抓手

章节起始课，也是一种对教材的整合．而教材整合，需要我们以整合的理念和策略看待教材，善于结合学生实际，活用教材，把重点放在发展学生数学学习的能力上，促进学生形成良好的数学学习习惯和数学思维品质．教材的整合是否科学、合理，关键一点要看是否重视对学生自主学习能力的培养，是否体现“为学生的发展而设计”的教学理念．本节课正是基于上述目的，不是单纯的让学生知道反比例函数，而是以整体的眼光来看全章．

其次，教材整合，可以在有限的时间内，尽可能多的教学效果，整合必然意味着取舍，在掌握学情的基础上，从有利于学生学习的角度出发，提炼精髓，化难为易，化繁为简，视教学内容和难易程度符合学生的认知规律和认知水平．本节课结束后，学生不仅仅知道了什么是反比例函数，也了解了反比例函数的图像，

同时对其性质有了初步的认识，对后续学习是一个很好的铺垫．

课程标准明确了目标，而教材给予了所有老师整合的机会，经过本节课的学习，学生可以很好的将类似的探究经验，运用在今后的函数学习中，同时，其间蕴含的转化、分类等数学思想，必将使学生今后的数学学习受益匪浅．

3．以思想为灵魂

本节课蕴含了类比、数形结合、转化等思想，引导学生发现函数间有着类似的研究方式，为后续的探索作铺垫．反比例函数的研究方法和内容与一次函数的研究方法和内容相似，也都要从生活中来，画图、观察、归纳、应用，感受数形结合、转化在探索新函数过程中的作用，提升和完善学生对各种数学思想的认识．

4．以能力为归宿

荷兰数学家弗莱登塔尔提出：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己发现或创造出来．本节课多次给予学生发现、创造的机会，如“关于反比例函数，你想研究哪些方面的内容？又该如何研究呢？”，在教师的引导下，让学生自主构建反比例函数研究内容的框架，完成本章“导游图”的建构．

在探究过程中积累函数研究的基本活动经验，让学生用关键词小结，提炼出内容和思想，从而达到知识的拓展和能力的提升.