3.4.1 函数与方程教学设计第二课时

3.1.2 用二分法求方程的近似解

玉林高中

邱运先

【教学目标】

1．知识与技能

（1）掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，学会运用二分法求方程的近似解；

（2）学会运用二分法思想解决其他的实际问题。

2．过程与方法

（1）通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程，形成用函数的观点处理问题的意识；

（2）利用不断缩小零点所在范围的方法求解，渗透从有限到无限的数学思想以及算法思想。

3．情感、态度及价值观

在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力。

【教学重点】

用二分法求方程的近似解。

【教学难点】

二分法原理的理解与运用。

【教学方法】

讲授法、启发式教学法、小组合作学习法

【教学过程】

一、复习上节课所学内容，为本节课做准备

1、什么是函数的零点？

2、零点存在性定理

二、小故事引入——大臣找假金币

从前有一个国王，他得到了一份装有64枚金币的财宝，可他却很苦恼，因为这堆金币混有一枚大小形状完全相同，只是质量较轻的金币。国王不知道怎么把它找出来！后来，有一位聪明的大臣想了一个办法，很快就把它找出来了！他是怎么做的呢？我们一起来看一下！

首先，他把这堆金币一分为二，放在天枰上称重，发现左边较轻。他就确定，假金币在左边这32枚金币里，继续再把它一分为二，用天枰称重，发现假金币在右边这16枚金币里。继续重复刚才的操作，他把假金币所在部分缩小到8枚，4枚，2枚，最终找出了这枚假金币！

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问题分析：聪明的大臣是如何找到假金币的？

（1）将金币堆一分为二; （2）称重，确定假金币所在部分; （3）如果假金币还没找到，回到第一步，将假金币所在范围缩小. 师：这种方法所涉及到的思想就是二分法的思想，而今天我们这节课的主要内容是研究如何用二分法求方程的近似解问题。

三、问题串引导，小组合作

问题1：考察方程lnxx30，这个方程是否有解？如果有，它的解的大致范围应该是什么？

（利用电子白板展示学生思考过程，让学生上来讲解）

问题预案：法一：lnxx30可化为lnx3x，

设ylnx，y3x，画出大致图像

由图可知，两个函数在区间(1,3)内有解，故方程lnxx30有解，解在(1,3)之间。

法二：设f(x)lnxx3，则

f(1)ln11320，f(2)ln223ln210，f(3)ln30

所以，由零点存在性定理可知，函数f(x)lnxx3在(2,3)内有零点，故方程lnxx30有解，解在(1,3)之间。

小结板书：方程的解的问题可借助函数图像

问题2：进一步，是否可求出它的精确解。（很困难）

借助几何画板演示，把点D逐步移动到与x轴交点，让学生明白精确解是一个无限不循环小数。

师：但由于生产的需要，我们需要求出它的近似解。

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问题3：如何求方程lnx+x-3=0的近似解？

由于方程的解的问题可借助函数，所以我们可以将整个问题转化成：如何求函数y=lnx+x-3的零点近似值？

小组合作讨论：引导学生类比找假金币的方法，探究出求方程零点近似值的步骤：

（1）确定零点大致区间；

（2）取中点，将区间一分为二；

（3）计算中点函数值，找出零点所在部分；

（4）返回第二步。

问题设置：1.计算中点函数值，万一函数值为零怎么办？

2.我们找假金币可以在有限步内完成，而现在我们按照上面的方法缩小范围，能缩小到什么程度？

引出精确度，指出在精确度0.1的条件下如何求方程lnx+x-3=0的近似解

（4）判断区间长度是否小于精确度，否则返回第二步。

区间长度：左端点和右端点的差的绝对值

师：思路有了，具体操作会遇到哪些困难？最大的困难是什么？

（计算！）

师：所以我们可以使用计算器来帮助我们。另外，如果使用电脑里的excel软件来帮我们的话，求解过程更快更清晰。

教师展示excel软件求解，与学生分析求方程近似解的具体操作。

师：以上过程所用到的方法叫二分法。我们一起来看一下二分法的定义。

四、二分法定义

对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 牛刀小试——二分法定义

（2014年四川）下列函数的图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是

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二分法步骤：

（1）确定零点大致区间；

（2）取中点，将区间一分为二；

（3）计算中点函数值，找出零点所在部分；

（4）判断区间长度是否小于精确度，否则返回第二步。

师：二分法的步骤可看出，二分法的过程是循环往复，不断把范围缩小的过程，它体现了程序框图中的算法思想，它可以用计算机编程来实现，我来给大家展示一个已经编好的小程序。

五、巩固强化

求方程2x+3x=7的近似解（精确度为0.1）

对应函数参考数据如下：f(1)2，f(2)3，f(1.5)0.3284，f(1.4375)0.0210，f(1.375)0.2813，f(1.75)1.6136，f(1.25)0.8716。

计时限定时间3分钟，教师根据情况调整。

答案：1.4375 六、课堂小结

1、二分法的概念；

2、二分法求方程近似解的步骤；

3、函数与方程的思想、算法思想、逼近思想。

七、作业

1、学案后【课外拓展】

2、二分法在现实生活中可以有哪些应用？请写一篇文章来说说你的看法。

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