3.1.2 指数函数教学实录及点评

课题：指数函数

授课教师：江苏省仪征中学

陈玲玲

教材:苏教版数学必修1 一、

教学目标： 1.

理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用; 2.

通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力和勇于提问、善于探索的思维品质，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法

，增强识图用图的能力。

二、

教学重点、难点：

重点：指数函数的概念、图象和性质；

难点：对底数的分类，如何由图象归纳指数函数的性质。

三、

教学方法与教学手段：

本节课采用以引导发现为主的教学方法，以课堂讨论、归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学。启发学生观察思考与分析讨论为主，教师适当引导点拨，以动手操作、合作交流，自主探究的方式来让学生始终处在教学活动的中心。

四、

教学过程： （一）创设情境、提出问题(约3分钟)

【情境】

在本节课的开始，我设计了一个游戏情境：折纸。首先提出问题：①估计：一张纸最多可以对折多少次？通过动手操作，学生发现实际次数与估计相差很多。此时提出第二个问题：②为什么提高对折的次数非常困难？对折的次数与什么因素有关？经过思考讨论，学生不难发现与纸的厚度以及面积有关。③设对折x次后纸的厚度为原来的y1倍，纸的面积为原来的y2倍，则y1、y2与x的关系

1分别是什么？学生观察思考后可得出y12x，y2。

2【设计意图：通过折纸游戏，引发学生认知上的冲突，从而激发学生探究的热情。】

（二）师生互动、探究新知

1．指数函数的定义（约7分钟）

⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）： x1①y2和y这两个式子有什么共同特征？一般形式是什么？

2xx（共同特征：底数是常数，指数是变量。 一般形式：yax） ②它们能否构成函数？（能）

③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？（是新的函数，可以命名为“指数函数”）

④你能给出该函数的定义吗？ 【设计意图：引导学生从实际问题中抽象出一个新的数学模型，自己命名并定义，由此激发学生的学习兴趣。】

⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。

探究一：

函数yx2是指数函数吗？

自变量x应该放在指数位置。

探究二：

函数y32x是指数函数吗？

指数函数的解析式yax中，ax的系数是1。

探究三：

对于底数的分类，可将问题分解为：

①若

会有什么问题？（当x0时，ax恒等于0，没有研究价值；当x0

，ax都无意义）

11②若a0会有什么问题？（如a2，x时，(2)2在实数范围内函数2值不存在）

③若

又会怎么样？（1x1,ax是一个常量，对它没有研究的必要.）

且

.在规定以后，师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定

对于任何xR，ax都有意义，因此指数函数的定义域为R。

在这里要注意生生之间、师生之间的对话。

【学情预设：

①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a0，且a1；a1和a0为什么不行？

②若学生只给出yax，教师可以引导学生通过类比一次函数（ykxb,k0）、反比例函数（yk,k0）、二次函数

x（yax2bxc,a0）中的限制条件，

思考指数函数中底数的限制条件。】 【设计意图

：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；

②讨论出a0，且a1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】

2．指数函数的性质（约20分钟）

⑴提出问题

对于一个具体函数，我们通常研究它的定义域、值域、单调性、奇偶性。

①用什么方法研究指数函数？（通过图象研究）

②如何作出指数函数的图象？

（从特殊函数到一般函数 列表、描点、连线）

③通过图象，你能发现指数函数的哪些性质？

⑵分组活动，合作学习

将学生分成4大组。

11第一组画y2x和y3x的图象，第二组画y和y的图象，

2311第三组画y2x和y的图象，第四组画y3x和y的图象。

23⑶观察图象，总结性质

每组同学观察自己所作的函数图象，思考讨论：各组图象有何共同特点？

学生易得到：

(1)图象都过点(0,1); (2)图象均在x轴上方；

（3）第一组学生发现两个函数的图象从左到右逐渐上升；

（4）第二组学生发现两个函数的图象从左到右逐渐下降。

引导学生从一、二两组的图象特点，将指数函数分为a1和0a1两类来研究。用几何画板的动态演示加以验证，给学生更直观的体验。

问：指数函数的图象特点反映出它的什么性质？

指数函数yax图象特征

指数函数yax的性质

(1) 无论a为任何正数，总有a01，

(1)图象都过点（0,1）

即f01

(2) x取任何实数时，ax0，

即定义域为R, 值域为(0,+∞)

(3)自左向右看，

a1时图象逐渐上升，

0a1时图象逐渐下降

请学生根据刚才的讨论，完成以下表格。

a>1 0

当0a1时，yax是减函数。

xxxx(2) 图象均在x轴上方

图象

（1）定义域：Ｒ

性

质

【设计意图：让学生充分感受以图象为基础探索函数性质这一研究思路，同时也培养了数形结合和分类讨论思想的运用。】

(3) 图象过定点（0,1）

(4)在Ｒ上是增函数

(4) 在Ｒ上是减函数

（2）值域：(0,+∞)

1最后用实物投影仪展示三、四两组同学的图象（y2、y和y3x、2xx11，

引导学生观察出：底数互为倒数（yax与y()x）的两个函数y）a3x图象关于y轴对称。

（三）应用举例，巩固新知（约12分钟）

例：比较两值的大小: 1.52.5 , 1.53.2

；

同底数幂比大小：构造指数函数，利用函数单调性

首先让学生观察两个数的特点,有什么相同?由学生指出它们底数相同,指数不同.再追问根据这个特点,用什么方法来比较它们的大小呢?让学生联想指数函数,提出构造函数的方法,即把这两个数看作某个函数的函数值,利用它的单调性比较大小.然后以第(1)题为例,给出解答过程.

变式：（1）0.52.5

，0.253.2；

不同底尽可能化为同底

（2）0.52.5，1.50.2 不同底数幂比大小：利用函数图象或中间变量进行比较

（3）已知0.2x25，求实数x的取值范围。

不同底尽可能化为同底

（4）已知axa3.2(a0,且a1)，求实数x的取值范围；

不明确底数a与1的大小关系时：

要分情况讨论

【设计意图：通过本题强化学生指数函数的图象和性质的正用和逆用】

（四）梳理知识，归纳总结（约3分钟）

请学生从以下三个方面总结本节课的学习收获：

1、数学知识点；2、研究函数的方法；3、数学思想方法。

【设计意图：让学生在小结中强化本节课的学习内容和学习重点，加深体会。】

（五）分层作业，启迪升华

（必做题）练习本P35-36 （探究题）

1.

今天我们所学的性质是由观察图象得到的，那么这些性质能否通过推理的方法得到呢？

2.已知函数fxax2(a0,a1)

。

（1）求定义域、值域；

（2）讨论单调性、奇偶性；

（3）fx的图象恒过定点P，试求点P的坐标。

指数函数教学设计说明

指数函数是重要的基本初等函数之一，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用。本节课借助图象的直观性，让学生在课堂活动中通过同伴合作、自主探究来得到指数函数的定义和性质，努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

本节课由以下几个环节组成：

（一）创设情境、提出问题

通过折纸游戏，引发学生认知上的冲突，从而激发学生探究的热情。

（二）师生互动、探究新知

首先引导学生从实际问题中抽象出数学模型，自己命名和定义，由此激发学生的学习兴趣。再通过合作学习、自主探究，用汇报成果的方式总结出指数函数的性质，让学生亲历从一般到特殊、数形结合的研究过程。在教学中使用几何画板演示指数函数的底数的动态过程，帮助化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率。

（三）应用举例，巩固新知

培养学生构造函数的思想，强化知识的正用和逆用。

（四）梳理知识，归纳总结

引导学生主动建构，形成知识体系，总结研究方法方法，体会数学思想。

（五）分层作业，启迪升华

设置分层作业目的在于巩固概念落实基础的同时，利用弹性作业使不同层次的学生都有所收获。

以上五个环节环环相扣，层层深入，充分体现教师与学生的交流互动。在教师的整体调控下，学生通过动手操作、动眼观察、动脑思考，层层递进，亲身经历了知识的形成和发展过程，对知识的理解逐步深入。