3.4.1 函数与方程教案教学设计导入整理

“方程的根与函数的零点”教学设计

数学组：惠莉

设计内容：《普通高中课程标准实验教课书(人教A版)《数学必修Ⅰ》第86-88页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。

下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计、教学评价设计六个方面对本节课进行说明。

一、背景分析

1、学习任务分析

函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中(3.1.2)加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数” 思想。

总之，本节课渗透着重要的数学思想

“特殊到一般的归纳思想”

“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。

2、

学情分析

学生在学习本节内容之前已经学习了函数的图象和性质，理解了函数图象与性质之间的关系，尤其是二次函数，并且已经具有一定的数形结合思想，这为理解函数的零点提供了直观的认识，并为判断零点是否存在和求出零点提供了支持；但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程，发现函数零点的存在性造成了一定的难度，又加上函数零点存在性的判定方法表述较为抽象难以概括，因此教学中尽可能提供学生动手实践的机会，让学生在亲身体验中掌握知识与方法，充分利用学生熟悉的二次函数图象和一元二次方程通过直观感受发现并归纳出函数零点的概念；在函数零点存在性的判断方法的教学时应该为学生创设适当的问题情境，激发学生的思维引导学生通过观察、计算、作图、思考理解问题的本质。

二、教学目标设计

1、结合《课程标准》对本节的要求，制定本节课的教学目标为：

1

(1)

、了解函数零点的定义，理解函数的零点与方程的根的联系，掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；

(2)、通过引导学生对函数的零点与方程的根的关系的探究，让学生感受从特殊到一般的解决数学问题的思想方法。通过学生小组合作讨论零点存在定理成立的条件，感受观察、实验、抽象、概括的数学化的过程，体会化归转化思想的必要性，渗透数形结合的思想方法，培养学生应用函数解决问题的意识。

(3)、让学生在解决问题的过程中，体会函数的应用价值，体验“化归与转化”，“数形结合”，“函数与方程”三大数学思想方法在解决数学问题时的意义与价值，感受知识之间的联系，从中感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

2、教学重点难点

重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

3、教学方法：本节课采用以学生活动为主，自主探究，师生互动的教学方法。

三、教学程序设计

设问激疑--创设情境

课后作业--自主学习

反思小结--培养能力

启发引导--形成概念

初步运用

--示例练习

知识应用--尝试练习

讨论探究

--

揭示定理

观察感知--例题学习

四、教学媒体设计

多媒体辅助教学：在对某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法的探究过程中利用小马过河的形象实例把抽象的判定定理还原到具体的可观察可操作的层面上来，弱化纯粹的逻辑推理，把“数”转化到了“形”.多媒体使用也为学生提供了更广阔的思维空间，提高了探究活动的质量。同时，为有效的指导学生活动，在教学中也使用了实物投影仪，展示学生所做的练习，并在此过程中对学生进行针对性的评价。

五、教学过程设计

(一)设问激疑，创设情境

问题1

：

你能求出下列方程的根吗？

(1) 3x20；

(2) x25x60；（3）3x5+6x-1=0 ；

(4) lnx2x60．

(二)启发引导，形成概念

2

求下列方程的根并作出相应函数的图象

(1)

方程x22x30，

函数yx22x3

(2)

方程x22x10

，

函数yx22x1

(3) 方程x22x30，

函数yx22x3

问题2：以上各函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？

设计意图: 与问题1联系起来结合一次函数、二次函数图象，判断方程的根存在性及根的个数，为理解函数的零点与方程根的联系作准备，充分发挥学生的主观能动性。

问题3:二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有何关系? 设计意图：把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力。

结论: 二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。

问题4：对于一般函数y=f(x)与相应方程f(x)=0有什么关系呢？

(1) 归纳：方程f(x)0的实数根就是yf(x)图象与x交点的横坐标。

(2) 函数零点的定义：

对于函数yf(x),我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。

(3) 等价关系

方程f(x)0有实数根

函数yf(x)的图象与x轴有交点

函数yf(x)有零点

设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，并与原有的知识形成联系，利用方程与函数的联系，培养学生观察、归纳的能力，并渗透数形结合的数学思想。

辨析练习：函数yx22x3的零点是（

）

A.(1,0)，（3，0）

B.x=-1

C.x=3

D.-1和3

设计意图：加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点

（三）初步运用，示例练习

例1：

求下列函数的零点．（1）f(x)lg(x1)；（2）f(x)2x1

例2：

函数y=f( x)的图象如下，则其零点为

2Oy13x

设计意图：巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．

(四) 讨论探究，揭示定理

问题5：所有函数都存在零点吗？

3

问题6：在什么条件下，函数f（x）在区间（a，b）内一定存在零点呢？

如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头(下图)，哪一组能说明小马的行程一定曾渡过河？

设计意图：在学生缺乏一定的数学知识的前提下，为学

生充分理解这个抽象的判定方法提供了有利的条件，这

个问题以学生的经验为基础，并带有一定的趣味性和开

放性，留给学生充分的空间，试图催生学生的深层思维，

通过学生自身思维碰撞揭示结论，对突破教材的难点有

重要的意义。

问题7：将河流抽象成x轴，将小马前后的两个位置视

A·

为A、B两点。你能用连续不断的曲线画出小马渡河

B·

x

可能的路径吗？

问题8：如果将小马渡河的路径抽象成函数的图像，那么A、B两点的函数值f(a)与f(b)正负有什么特点？

f(a)·f(b)的正负如何？

设计意图：.将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。由原来的图象语言转化为数学语言,培养学生的观察能力和提取有效信息的能力，体验语言转化的过程。

问题9：仅满足f(a)f(b)0可以确定函数一定有零点吗？

辨析练习：判断下列函数是否有零点？

设计意图：看似一个简单的问题却从直观上能揭示问题的本质，为学生充分理解这个抽象的判定方法提供了有利的条件，使得问题变得形象化。

问题10：那么在怎样的条件下，函数yf(x)一定有零点？

设计意图：通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.

1．函数零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0, 那么, 函数yf(x)

在区间(a, b)内有零点, 即存在c(a,b)使f(c)0, 这个c也就是方程f(x)0的根．

2.

解读定理：

（1）两个前提条件缺一不可.

（2）“有零点”是指有几个零点呢？只有一个吗？

abⅠ

Ⅱ

abab

4

（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？

（4）若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内连续且有零点，一定能得出f( a )·f( b )<0的结论吗？

（5）定理的作用：能判定零点的存在性，并找出零点所在的区间；

设计意图：以问题的形式解读定理，加深学生对定理的印象，同时也使学生知道在区间(a, b)上单调的函数只有一个零点和该定理不可逆的重要结论。

（五）例题学习，应用定理

5例3：观察下表，分析函数f(x)3x6x1在定义域内是否存在零点？

x y -2 -109 -1 -10 0 -1 1 8 2 107 例4：在下列哪个区间内,函数f (x)= x3＋3x－5 一定有零点（

）

A、(－1,0）

B、(0,1）

C、(1,2）

D、(2,3）

设计意图：通过例题学习，使学生初步运用定理来解决“函数零点存在或所在区间”这一类问题．

(六)

.知识应用，尝试练习

练习：已知函数f(x)lnx2x6. (1)该函数是否存在零点？若存在零点则有几个？

(2)指出函数零点所在的大致区间？

设计意图：原题为：求函数f(x)lnx2x6的零点的个数，改为问题序列以追问的形式出现，问题由浅入深形成序列，即使对本节课知识的应用，也是对下一节课二分法的一个铺垫，同时考虑了学生的实际情况，留给学生解决问题的不同思考途径，这样就抓住了教学的关键且分层预设问题，有利于学生思维深刻性的培养。

(七）反思小结，培养能力

回顾小结：1.谈谈本节课你的收获！

(1) 函数零点的定义；

（2）三个等价关系；

(3) 函数y=f(x)的零点存在性的判定；

（4）求函数零点的方法. 2.

本节课渗透了什么数学思想方法？

（1）由特殊到一般的思想.；（2）函数与方程的思想；（3）数形结合的思想. (八)课后作业，自主学习

1、教材92页习题3.1（A组）第2题

22、求函数fxlnx的零点的个数，并指出其零点所在的大致区间. x六、教学评价和反思设计

1．本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳概念，由问题的提出进一步加深理解，这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

2．加强过程性评价，创设公平、平等、宽松、积极向上的课堂环境，这就要求对学生的语言行为及时地给予肯定性的表扬和鼓励，充分暴露思维，及时矫正，调整思路。

5

3．逐层铺垫，降低难度：由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。

4．恰当使用信息技术：恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程。

5．采用“启发—探究—讨论”教学模式：精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会。

板书设计

为对本课有一个整体的认识，教学时将重要内容进行板书，如：

§3.1.1 方程的根与函数的零点

例1：

求函数的零点

一、函数yf(x)的零点的定义

（1）；

二、三个等价关系．

（2）

三、判定零点的存在性：

1．定理：

[a,b]上的yf(x)在区间图象连续f(a)f(b)0例3：观察下表，函数在定义域内是否存在零点？

例4：在下列哪个区间内,函数f (x)= x＋3x－5 一定有零点（ ） A、(－1,0） B、(0,1） 3例2：

函数y=f( x)的

图象如下，则其零点为

存在c(a,b)，使f(c)0．

2．求零点的方法：（1）代数法

（2）几何法．

C、(1,2） D、(2,3）

6