3.2.2 对数函数板书设计

《对数函数》的教学设计

一、教学目标

1、知识与技能目标

(1) 理解对数函数的实际背景，感受研究对数函数的意义，掌握对数函数的概念

(2) 掌握对数函数的图象和性质，掌握研究函数的一般性方法

(3) 在掌握性质的基础上能进行初步的应用，解决比较大小等一些简单问题

2．过程与方法

通过三个情景让学生观察、比较、归纳出函数结构的共性，让学生体验知识的建构过程，培养学生抽象概括的能力．类比指数函数性质得到对数函数的性质，进一步掌握研究函数的一般性方法．通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想 3、情感态度与价值观

利用情景提高学生对数学学习的兴趣，同时增强民族自豪感．通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性．通过小组学习，增强交流学习的意识，培养合作的精神．

二、教学重点、难点

教学重点：

1、对数函数的概念、对数函数的图象与性质

2、利用对数函数的图象与性质来解决一些问题

教学难点：在利用性质来解决问题时，底数a会对对数函数性质影响

三、教学过程

【复习回顾】

1、指数函数的定义：一般地，函数ya(a0,a1)叫做指数函数． 2、指数函数的图象与性质

函数

y＝ax(a>0，且a≠1) 0

图象特征

定义域

值域

性

质

单调性

函数值变化规律

减函数

当x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1；当x>0时，0

当x<0时，00时，y>1 在x轴上方，过定点(0,1) R (0，＋∞) 增函数

a>1 x

【情景引入】

情景一：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以活动。人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关.那么，考古学家是怎么计算出古长沙国

丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p，利用tlogP，算出尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过157302它们的对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数；

目的：一是吸引学生的眼球，提高学生对数学学习的兴趣，二是让学生认识到对数不是人们凭空想出来的，而是客观世界中蕴含的规律需要用对数函数来表达和解决，感受研究对数函数的意义，初步认识对数函数．三是增强民族自豪感，两千年前中国人就拥有了领先的防腐技术．

情景二：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个

……，细胞个数y

就

是分裂次数x

的函数y2x

，反过来，这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个？

情景三：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原

来的84℅，则这种物质剩留的质量y是时间x的函数y0.84x，反过来，这种物质剩留的质量是原来的11,,24

，问大约需要多少年？

预测：学生回答以上问题没有问题，但是算不出来，因此可以因势利导给出下列问题，从而引出对数函数的概念．

问题：1、能否用刚学过的对数表示分裂次数和时间？

2、能否由细胞个数y求分裂次数x，物质剩留的质量y求时间x？

3、谁是自变量？谁是因变量？

4、三个情景中函数结构的共同点是什么？ 设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”。因此，新课引入选择从三个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型．这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点．

【构建新知】

一、得到对数函数的概念

引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是0,．

1

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：

注意：○y2log2x，ylog5x2

对数函数对底数的限制：(a0，

都不是对数函数．○且a1)．

5二、尝试画图、形成感知：

1．确定探究问题

教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？

学生1：对数函数的性质

教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数性质的方法吗？

学生2：先画图象，再根据图象得出性质

教师：如何画对数函数的图象？

学生3：描点作图法

教师：怎样作图更快呢？前面描点作过y2的图象，描点作ylog2x的图象时能否加x

以利用． 学生4：横纵坐标的位置正好对调

教师：现在我们迫切地想知道对数函数的图象到底是什么样子

2、学生活动

按以下步骤共同探究对数函数的图象：

（1）（南面两组）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y2x ylog2x y3x ylog3x （北面两组）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

x11y y ylog1x ylog1x

2332（2）观察对数函数ylog2x、ylog3x与ylog1x、ylog1x的图象特征，看

23x看它们有哪些异同点

（3）归纳出对数函数的图象规律，底数a(a0，且a1)对图象的影响

（4）比较指数函数与对数函数图象，它们有什么关系？

3．学生展示探究成果

（1）利用实物投影仪展示学生所画的图象，由学生指出作图的一些不足（x,y轴，原点未标，单位长度不一致，只作出部分图象不完整等等）

（2）学生观察图象的异同点

（3）教师演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象．利用‘几何画板’的作图功能，让学生非常清楚地看到了底数a是如何影响函数ylogax(a0，且a1)的图象．

（4）学生归纳出底数a(a0，且a1)的范围不同时，图象发生怎样的变化

（5）拓展探究：

①

对数函数ylog2x

与 ylog1x、ylog3x

与 ylog1x的图象与对应的指

23数函数有怎样的对称关系？

②

对数函数ylogax，当a值增大时，图象的上升“程度”怎样？

三、由形到数，发现性质

1．确定探究问题

教师：现在我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，

通常研究函数的哪些性质？请回忆一下前面学过的指数函数．

学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、函数值的分布、过定点等性质。

教师：现在，请独立思考，然后小组合作，根据图象特征（包括形状、位置、升降、定点等）去探究出对数函数的性质．

2、学生活动

学生思考，然后学生六人一组，进行讨论．

3、交流成果

选3个小组，由小组长给出本组研究的结果，其他小组作补充．

在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格：（横线处由学生填写）

y＝logax a>1

0

定义域：(0，＋∞) 值域：R 性质

过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0当0

当x>1时，y<0当00 在(0，＋∞)上是减函数

设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉，既能让学生掌握研究的方法，也能提高学生由形到数抽象概括的能力．引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成．同时通过小组合作，提高学生的数学表达和交流的能力．

【新知应用】

例１、求下列函数的定义域

（1）ylog0.2(4x)；

（2）ylogax1(a0,a1)

设计意图：本例主要考察对数函数定义中对真数的限制，加深对概念的理解，但根据高考要求点到为止，以避免挖深、拓展．

例２、比较下列各组数的大小

（1）log23.4,log23.8;

（2）log0.51.8,log0.52.1;

变式：（1）loga5.1, loga5.9

a0,a1

（2）log75, log67;

（）log3,

log8

预测：学生知道用单调性解决，但会表述不清，此处应培养学生学会用数学语言来表达和解决问题，不能图快，要知道学生表达得有条理才说明他是真正理解透了．

设计意图：通过例２强化学生对性质的理解，同时培养学生应用数学知识的能力变式（1）的设置是让学生正确认识底数a对对数函数性质影响，渗透分类讨论的数学思想．变式（2）的设置是让学生掌握更多比较大小的方法，除了单调性外还有利用中间量进行比较；利用对数函数图象数形结合比较等，这样让学生系统化地掌握知识，真正做到做一题弄懂一类问题．

【课堂练习】

1、求下列函数的定义域：

（1）ylog2(3xx2)

（2）yloga2a0,a1

4x32、比较下列各题中两个值的大小：

（1）log0.81.5和log0.82

（2）ln2和ln2.7

（3）log37和log53

（4）loga2和loga3a0,a1

【课堂小结】学生自主总结本节课的内容，教师进行归纳：

1．对数函数的概念

2．对数函数的图象与性质

注意：（1）记忆函数的性质可借助于函数的图象．

（2）解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a的分类讨论，即a>1或0

3、利用对数函数的性质解决数学问题

4、本节课涉及到哪些数学方法和数学思想

【课后作业】书本85页1，2，3，4

书本87页2，3，4 【板书设计】

对数函数（一）

3、本节课哪些数学方法和数例2的变式

1．对数函数的概念

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学思想

…………………………

例1、解

2．对数函数的图象与性质

………………………………

练习：

（表格）

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…………………………

…………………………

例2、解

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