3.4.1 函数与方程教学内容

“函数的零点”教学实录及反思

1、引言

2017年10月20号，笔者有幸在江苏省天一中学执教了一节研讨课——“函数的零点”，由于笔者才疏学浅，在课堂教学方面还处在摸索阶段，在教学过程中有很多不足之处和值得改进的地方。下面将本节课的部分教学环节予以展示，不当之处欢迎各位同行批评指正。

2、教学片段

2.1 情境创设

问题1 由xx2这个代数式，大家联想到了什么？

学生：我想到了方程xx20，还有二次函数yx2x2。

学生：我还想到了一元二次不等式xx20。

教师：很好，方程、函数、不等式是我们数学中经常研究的对象，今天我们先来研究函数与方程，大家分析一下刚才的方程和函数之间有没有内在的联系？

学生：一元二次方程的根就是一元二次函数图象与X轴的交点。

教师：根就是点？

学生：哦，方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。

教师：这种对应关系对于一般的函数与对应方程之间是否成立呢？

学生：应该是的。

教师：也就是说方程的根就是对应函数图象与x轴交点的横坐标，我们把它叫做函数的零点。

设计意图：从学生熟悉的二次方程、二次函数入手，采用特殊到一般的研究策略，根据不同对象的内在联系介绍新概念，有助于学生更好的理解和接受，也符合学生的思维习惯和认识规律。

2.2 定理探究

问题2 函数yxx2的零点是什么？

学生：（想了一会）不会求，它对应的三次方程不会解。

教师：求解三次方程已经超出了我们的学习范围，事实上，三次代数方程和四次代数方程也是有代数求根公式的，这是由意大利数学家卡尔达诺早在16世纪初发现的，到19世纪，挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一般方程没有代数求根公式。

设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过相关的数学史，让学生了解一下数学发展的历程，增加对数学的学习兴趣，同时也为接下来零点存在定理的探究做铺垫。

问题3 类似于这样的函数，如何研究它们的零点？

学生：可以从函数图象上去研究。

教师：我们把问题分解一下，这节课先解决零点存在的问题，一般的，函数图象满足哪些条件，函数就一定存在零点呢？大家可以先讨论一下。

学生：函数值要有正有负。

教师：还有其他条件要补充吗？

学生：我觉得函数图象首先要连续，可以参考反比例函数。

教师：很好，能否用数学的符号语言表达一下你的观点？

学生：f(a)f(b)<0且函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，则函数y=f(x)在(a,b)内有零点。

教师：其他同学有没补充意见？这样表述是否完整？（思考片刻一致认同）这就是零点存在3222

性定理。

零点存在性定理：一般地，若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.

设计意图：对于零点存在的判定定理，教材不要求给予其证明，这需要教师提供一定量的具体案例让学生操作感知，同时鼓励学生举例来验证，考虑到学生的层次水平比较高，所以在零点存在定理的设计上，尽量给学生发挥的空间，没有采用从特殊到一般的归纳策略，也没有通过直观的例子类比得到，目的是调动学生的抽象思维，培养学生的主动性和创造性能力。学生之间通过相互比较，相互评价，使得定理条件不断完善，通过举反例加强学生的数学辩证思维，从而体会数学是严谨的，科学的一门逻辑学科。

2.3 定理再认识

判断以下命题是否正确：

（1）若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线且f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上有且只有一个零点．

学生：不正确。（黑板上分别画出了存在两个零点和三个零点的函数图象）

教师：再增加什么条件可以确保有且只有一个零点？

学生：如果函数在区间上是单调的。

设计意图：巩固零点存在性定理，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。

（2）若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线且在区间(a,b)上有零点，则必有f(a)f(b)<0成立．

学生：不对。（刚才的二次函数可以作为反例）

设计意图：定理的条件结论不可颠倒次序，从侧面加深对定理的理解。

（3）若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线且f(a)f(b)>0,则函数在区间(a,b)上没有零点．

学生：不对（反例同上）

设计意图：让学生明白零点存在定理只是用来判断零点存在的一个方法而不是唯一方法，有的函数是不可以用这个定理来判断零点存在的，有的函数还可以用其他方法来判断零点存在。

（4）将定理条件中的区间[a,b]改为(a,b)，结论是否正确？

学生：（犹豫不决）

教师：闭区间上连续与开区间上连续有什么本质区别？

学生：开区间上连续意味着端点的函数值可以孤立，（在黑板上画出了反例的函数图象）。

教师：很好，这位同学的观察力比较敏锐，说明问题也是一针见血。

设计意图：？

2.4 定理的应用

例1 证明：函数yxx2在区间（1,2）上存在零点。

设计意图：解题是数学课堂必不可少的环节，目的是巩固课堂知识，规范表达，使学生的认识从知识层面上升到应用层面，从整堂课的设计来看，也是前后呼应的一个教学环节。

2.5 定理的拓展

例2 若函数ylgxx3的零点x0(k,k1),kZ，求k的值。

设计意图：让学生更好地理解方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系，并利用这层关系实现函数与对应方程之间的转化，体会数学中的转化化归思想和数形结合思想。

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3、几点思考

3.1 教材的地位、目标

笔者认为本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜，

从教材编写的顺序来看，学习函数的零点，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．因此，本节课就以具体的二次函数与二次方程的关系引入零点概念。同时把教学目标确定为：（1）了解函数零点的概念，了解定理应用的前提条件，应用的局限性，及定理的准确结论。（2）在学习过程中，体验函数与方程思想及数形结合思想。（3）通过探究、讨论，加强学生的逻辑思维能力，提高分析和解决问题的能力。

3.2 学生的学情和教材的重难点

本节课是学习指、幂、对函数后函数应用的第一课时，具有承上启下的作用，教材中主要包含零点概念和零点存在定理两部分内容，课程目标定位如下：介绍零点概念，理清零点与方程的根函数图象之间的联系，从中让学生体会数形结合思想，提高转化化归的能力。对于零点存在性定理，是本节课的难点，从提出问题到归纳结论再到命题辨析，让学生经历了概念同化和异化两个环节，从中体会从特殊到一般，从具体到抽象的数学研究策略。

3.3

让数学知识在自主探究和合作交流中生成

教育家波利亚-乔治认为，最好的数学学习方法是通过自己的发现获得知识，而发现的过程即是探索的过程。因此，在本节课中，首先让学生有充分的独立思考的机会，思考后进行汇报、交流，不仅关注思考后的成果，更要关注思考过程中的“曲折”，最后让学生回顾解决问题的思维过程，从中体现的数学思想和数学方法，启迪智慧，开发潜能，真正提升学生的数学思维品质和数学解题能力。