积的乘方教学实录及点评

1.2幂的乘方与积的乘方(二) ●教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义. 2.了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. (二)能力训练要求

1.在探索积的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力. 2.学习积的乘方的运算性质，提高解决问题的能力. (三)情感与价值观要求

在发展推理能力和有条理的语言和符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美. ●教学重点

积的乘方运算性质及其应用. ●教学难点

幂的运算性质的灵活应用. ●教学方法

探索——交流法

教师引导学生通过特例探索积的乘方的运算，在学生各自说明理由的过程中充分交流做法，从而掌握积的乘方的运算性质. ●教具准备

投影片四张

第一张：议一议，记作(§1.2.2 A) 第二张：做一做，记作(§1.2.2 B) 第三张：讲一讲，记作(§1.2.2 C) 第四张：练一练，记作(§1.2.2 D) ●教学过程

Ⅰ.提出问题，引入新课

［师］我们先来看几个数学问题

出示投影片(§1.2.2 A)——议一议

331.(1)2×5等于什么？与同伴交流你的想法和做法. (2)2×5，2×5，2×()分别等于什么？

(3)从上面的计算中，你发现了什么规律？再换一个例子试一试. 22.一个正方体的棱长是2×10毫米. (1)它的表面积是多少平方毫米？

(2)它的体积是多少立方毫米？

同学们可试着自己探索解题过程，然后互相讨论，在各自说明理由的基础上充分交流做法. 33［生］1.(1)2×5

=(2×2×2)×(5×5×5)——幂的意义

=8×125——按运算顺序先算括号里的式子

=1000 33［生］1.(1)2×5

881212131213

=(2×2×2)×(5×5×5)——幂的意义

=(2×5)×(2×5)×(2×5)——乘法交换律、结合律

=10×10×10——按运算顺序先算括号里的式子

3=10=1000——乘方的意义

88［生］1.(2)2×5

（222）（555）=×——幂的意义

8个28个525)(25)(25)——乘法交换律、结合律

=(8个(25)1010

=108个10=10——乘方的意义

12122×5

（222）（555）=×——幂的意义

12个212个5825)(25)(25)——乘法结合律、交换律

=(12个(25)1010

=1012个10=10——乘方的意义

2×()

（222）=×()——幂的意义

13个21312121311122213个12=(2）（2）（2)——乘法交换律、结合律

113个（2）211122213=1=1 ［师］同学们幂的意义、乘方的意义及乘法交换律和结合律运用的非常精巧.在上面的计算中你有没有发现规律呢？你能用一个式子表示吗？

nnn［生］可以.从上面的计算中可发现一个规律，用符号表示为a·b=(ab). ［师］能用幂的意义和乘法的有关运算律验证吗？

nn［生］a·b

=(aaa)·(bbb)——幂的意义

n个an个bab)(ab)(ab)——乘法交换律、结合律

=(n个(ab)=(a·b)——乘方的意义

nnn［师］我们从特例和一般情况都验证了结论a·b=(a·b).我们再来看第2个问题. 22［生］2.(1)正方体的表面积S=6×(2×10)平方毫米；

23(2)正方体的体积V=(2×10)(立方毫米). ［生］S和V的值不是最简，还需进一步化简. 22［师］很好！的确如此.我们可以注意到，要化简S和V的值，就需求出(2×10)和(2n

×10)的值.在(2×10)和(2×10)，2×10是底数，它是两个因数2与10的积的形式，2223因此(2×10)和(2×10)是积的乘方的形式，这一节课我们就来学习幂的第三个运算性质——积的乘方. Ⅱ.做一做——探索积的乘方的运算性质

出示投影片——做一做(§1.2.2 B) 7( )( )(1)(3×5)=3·5; m( )( )(2)(3×5)=3·5; n( )( )(3)(ab)=a·b. 你能说出得出结论的理由吗？你能运用自己的语言描述你发现的规律吗？

7

［生］(1)(3×5)——积的乘方

35)(35)(35)

=(

7个(35)23222322

——幂的意义

=(333)×(555)

7个37个5 ——乘法交换律、结合律

——乘方的意义

——幂的意义

=3×5

m(2)(3×5)

m个(35)77

35)(35)(35)

=(

=(333)×(555)

m个3m个5 ——乘法交换律、结合律

——乘方的意义

——幂的意义

=3·5

n(3)(ab)

n个abmm

=(ab)(ab)(ab)

=(

aaaa)·(bbbb)

n个ann ——乘法运算律

n个b=ab

——乘方的意义

由(1)、(2)、(3)我们化简，得出

777(1)(3×5)=3×5；

mmm(2)(3×5)=3×5; mmm(3)(ab)=ab. 由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质：积的乘方等于把每一个因式分别乘方的积. ［师］在“议一议”中的第2个问题，你能试着解决吗？

2222244［生］正方体的表面积S=6×(2×10)=6×［2×(10)］=6×［4×10］=24×10=2.45×10(平方毫米) 2322222正方体的体积V=(2×10)=(2×10)×(2×10)×(2×10)=(2×2×2)×(10×10×2323610)=2×(10)=8×10(立方毫米) ［师］同学们能用幂的意义和我们刚学过的幂的运算性质有条有理地将新的问题解决.很了不起！我们再来一起回顾一下积的乘方这一运算性质得来过程. n［生］(ab)表示积的乘方，a,b是因式或因数，它可以是数，也可以是字母，或单项式，或多项式，根据幂的意义和乘法运算律，就可得出

(ab)=(ab)(ab)(ab)(ab)

n个abn

=(aaa)(bbb)

n个annn个b=a·b

用语言描述就为积的乘方等于每个因式分别乘方的积. Ⅲ.讲一讲，熟悉积的乘方的运算性质

出示投影片(§1.2.2 C) ［例1］计算：

3542n(1)(3x);(2)(－2b);(3)(－2xy);(4)(3a). ［例2］地球可以近似地看作球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么V=π43r3.地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是多少立方千米？你能计算出太阳的体积大约是多少立方千米吗？

分析：应用积的乘方的运算性质进行计算、化简，得首先看积中含有哪些因数或因式.同时要明白算理，开始练习积的运算，可以不直接套用，多写几步，等熟悉后可直接套用. 3333331.解：(1)(3x)=(3x)(3x)(3x)=(3×3×3)(x·x·x)=27x或(3x)=3·x=27x; 5(2)(－2b)=(－2b)(－2b)(－2b)·(－2b)(－2b) 555=(－2)(－2)(－2)(－2)(－2)(b·b·b·b·b)=(－2)·b=－32b

5555或(－2b)=(－2)b=－32b; 4(3)(－2xy)=(－2xy)(－2xy)·(－2xy)·(－2xy) =(－2)(－2)(－2)(－2)(x·x·x·x)(y·y·y·y) 444=(－2)xy

44=16xy

444或(－2xy)=(－2x)·y

44444=(－2)xy=16xy; 2nn2nn2n(4)(3a)=3(a)=3a. 2.解：(1)V=πr

=π×(6×10)

=π×6×(10)

≈9.05×10(千米) 113所以地球的体积约为9.05×10千米. 236(2)已知太阳的体积约为地球体积的(10)=10倍，由(1)可求出太阳的体积为

116116173(9.05×10)×10=9.05×10×10=9.05×10(千米) 173所以太阳的体积约为9.05×10千米. nnnnnnn［师］由例1我们可以猜想可以把(ab)=ab推广呢？即(abc)=abc吗？大家可以亲自推理一下. ［生］(abc)=(abc)(abc)(abc)

n个abcn113433434333333=(aaa)(bbb)(ccc)

n个annnn个bn个c=abc

nnnnnn［生］(abc)=(ab)c=abc

［师］大家再来看例1中(3)小题.我们将(ab)=ab推广后，得到了(abc)=abc.所以444444(3)小题也可为：(－2xy)=(－2)xy=16xy. Ⅳ.练一练——灵活运用积的乘方的运算性质

出示投影片(§1.2.2 D) 1.计算：

33(1)(－3n);(2)(5xy); 32(3)－a+(－4a)a. 2.判断题

44(1)(ab)=ab( ) 2224(2)(3ab)=3ab( ) 22422(3)(－xyz)=－xyz( ) (4)(xy)=xy( ) (5)(－abc)=abc( ) (6)(－)()=(－×)=－1( ) 3.不用计算器，你能很快求出下列各式的结果吗？

224232×3×5，2×3×5

(由学生板演或口答) 33331.解：(1)(－3n)=(－3)·n=－27n; 333333(2)(5xy)=5xy=125xy; 32(3)－a+(－4a)a

322=－a+(－4)aa

333=－a+16a=15a. 4442.(1)×,积的乘方的运算性质是每个因式分别乘方的积，即(ab)=ab; 22222224(2)×,应为(3ab)=3a(b)=9ab; 2222222422(3)×,应为(－xyz)=(－1)(x)yz=xyz; (4)×,应为(xy)=()x(y)=xy; (5)√ (6)√

223.解：2×3×5

22=(2×5)×3

2=(2×5)×3

用

=3×10=300；

4232×3×5

323

=(2×2)×3×5——同底数幂乘法逆用

332=(2×5)×(2×3)

——乘法运算律

3=(2×5)×2×9

——积的乘方运算性质逆用

=18000. Ⅴ.课时小结

［师］下面我们对这一节课的内容谈一下新的体会和收获. nnn［生］这节课我们根据幂的意义和乘法的有关运算律对(ab)=ab进行了验证. 2nnnnnnn2322432412232144267353757337523222322224924

——乘法交换律、结合律

——积的乘方运算性质逆

［生］数学新知识的学习好多是由旧知识推理出来了. ［生］通过一些例子，我们更熟悉了积的乘方的运算性质，而且还能在不同情况对幂的运算性质活用. Ⅵ.课后作业

1.课本第1、2、3、4题. 2.总结我们学过的三个幂的运算性质，反思作业中的错误. Ⅶ.活动与探究

mn3m+2n已知2=3,2=5,求2的值. 3m+2nmn［过程］求2的值，由已知条件不能求出m,n的值，因此我们想到了将2,2整体代入，这就需要逆用同底数幂乘法的运算性质和幂的乘方的运算性质. 3m+2n3m2n［结果］2=2·2

m3n2=(2)·(2)

32=3·5=27×25=675 ●板书设计

1.2 幂的乘方与积的乘方(二) 一、议一议

333(1)2×5=(2×5)

888(2)2×5=(2×5)

121212(3)2×5=(2×5)

nnn归纳：a×b=(ab)

二、做一做

777(1)(3×5)=3×5

mmm(2)(3×5)=3·5

nnn(3)(ab)=ab

即积的乘方等于每个因式分别乘方的积. 三、讲一讲

例1.计算 例2.地球的体积

四、练一练

1.随堂练习 2.判断 3.试一试

●备课资料

一、参考例题

［例1］计算：

322(1)(－5ab);(2)－(3xy); (3)(－1abc);(4)(－xy). 分析：应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方；注意系数及系数符号，对于系数是－1的不可忽略. 3333解：(1)(－5ab)=(－5)ab

33=－125ab; 22(2)－(3xy)

2222=－3(x)y

42=－9xy; (3)(－1abc)=(－abc)

1323313233m3m243233

=(－)abc

=－6427433369a3b6c9; m3m222m6m(4)(－xy)=(－1)xy

2m6m=xy. ［例2］计算：

2232(1)(－a)·(－2a); 433232235(2)(－ab)·(－ab)·(－ab); 2334(3)［(x+y)］·［(x+y)］; 441023443(4)(－2x)+2x(－2x)+2x·5(x). 分析：本题是综合运用学过的幂的三个运算性质.做题前，先观察、分析，以免出错. 2232解：(1)(－a)·(－2a)

222232=(－1)(a)·(－2)·(a)

46=a·4a

4610=4a·a=4a

433232235(2)(－ab)·(－ab)·(－ab)

343332223252535=(－1)(a)(b)·(－1)(a)·(b)·(－1)(a)(b)

19461015=－a2b·ab·(－ab) 12+4+109+6+15=ab

2630=ab

2334(3)［(x+y)］［(x+y)］

612=(x+y)·(x+y)

18=(x+y)

441023443(4)(－2x)+2x(－2x)+2x·5(x)

44410323412=(－2)(x)+2x·(－2)(x)+2x·5x

16161616=16x－16x+10x=10x

评注：要注意区分同底数幂的乘法和幂的乘方两种不同运算，要注意负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.同时要注意运算顺序，整式的运算顺序同有理数的运算顺序一样. ［例3］计算：

(1)(－9)×(－)×(1－)；

(2)(－8)×(－0.125)；

2n3n2(3)已知x=3,求(3x)的值. 分析：灵活运用幂的三个运算性质. 解：(1)原式=－9×［(－)］×()

=－［9××］

=－83334923332003200432361332323233=－512. 272003(2)原式=(－8)×(－)182003×(－) 18

=［(－8)×(－)］003×(－) =1003×(－)=－

(3)(3x)=3(x)

2n33=9·(x)=9×3

=9×27=243. 3n22n3mnnm评注：(3)关键是将(x)=(x)，利用了(x)=(x)性质.

全

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3n223n22182181818