平方差公式的应用优质课一等奖教案

《1.5平方差公式》教案

教学目标：

（一）知识目标

1.会推导平方差公式并能正确运用公式进行计算.

2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.

3.体会符号运算对证明猜想的作用.

（二）能力目标

1.经历探索发现平方差公式的过程，发展数形结合的思想.

2.培养学生观察、归纳、概括等能力.

（三）情感与价值观目标

1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.

2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.

3.乐于通过动手操作发现和学习数学知识.

（四）教学重点，难点

教学重点：探索平方差公式的过程.

教学难点：理解平方差公式的特征.

二.教材处理

1.突出重点：学生通过自主探究，剪纸拼图的方法发现和认识平方差公式.

2.突破难点：学生通过尝试对公式特征的语言叙述，认识和理解公式本质的内容.

三.学法指导

1.由问题情境产生思考，激发对新知的求知欲.

2.通过动手剪纸拼图，认识和解释情境中的问题，同时，发现数学知识，感受知识的发生和发展过程.

3.通过交流辨析，进一步理解平方差公式

四.教学具准备

大正方形纸板，剪刀.

五.教学过程

（一）创设问题情景，引入新课

1、在一个边长为a米的正方形草坪的一角修建一个正方形的水池，改建后草坪的面积是

？

a

a

b

b

2、你能利用面积知识，用不同的形式表示阴影部分的面积吗？试试看！同桌可交流讨论，然后把你的想法说给大家听.

（教师巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法.）

3、可能拼出的情况：

（1）可以拼成长方形

把剩下的图形（即上图阴影部分）先剪成两个长方形（沿上图虚线剪开），我们可以注意到，上面的大长方形宽是（a－b），长是a；下面的小长方形长是（a－b），宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是（a－b），我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图所示的图形（阴影部分），它的长和宽分别为（a+b），（a－b），面积为（a+b）（a－b）.

（2）还可以拼成长方形

把剩下的图形（即阴影部分）沿折痕（对角线）剪开，得到两个直角梯形，然后按右图拼接成大长方形，大长方形的长和宽分别为（a+b），（a－b），则其面积为（a+b）（a－b）.

a

b

a

a

b

b

（3）可以拼成梯形

a

b

b

把剩下的图形（即阴影部分）沿折痕（对角线）剪开，得到两个直角梯形，我们可以注意到，两个直角梯形的高均为（a－b），所以我们可以将这两个边重合，然后按右图拼接成梯形.

这个梯形的上底为2b，下底为2a，则其面积为（2a+2b）（a－b），化简为（a+b）（a－b）.

12a

a

a

a

b b

（4）可以拼成平行四边形

b

b

a

a

b

a

b b

把剩下的图形（即阴影部分）沿折痕（对角线）剪开，得到两个直角梯形，我们可以注意到，两个直角梯形的高均为（a－b），所以我们可以将这两个边重合，然后按右图拼接成平行四边形.由剪拼过程我们可以知道，这个平行四边形的边长为（a+b），高为（a－b）.所以这个平行四边形的面积为（a+b）（a－b）.

师：“对于同一个图形，不论用什么方法来求它的面积，这个面积改不改变？计算你所拼出的几何图形的面积，你能发现什么？”

（学生通过拼图来探索这一图形面积的求法，在此过程中，教师对学生所拼图形给予充分的评价并鼓励学生从中发现知识，交流自己的观点）

设计意图：通过动手剪纸拼图，让学生经历平方差公式的探索，在认识和解释情境的过程中，发现数学知识，感受知识的发生和发展过程.

4、你能用你学过的多项式乘多项式的知识来验证你的发现吗？

设计意图：学生利用多项式乘多项式的法则计算（a+b）（a-b），验证自己的猜想.

（二）得出概念

1、（a+b）（a-b）=a2-b2这个公式称为平方差公式

（1）你能用语言叙述这个公式吗？

b a

设计意图：锻炼学生的总结能力及语言表达能力.

“两个数的和乘以两个数的差等于它们的平方差.”

（2）你能用多项式乘法法则说明理由吗？

设计意图：体会数学的逻辑性及利用平方差公式计算的简洁性.

2、自主交流，合作探索：利用平方差公式计算的关键是什么？怎样确定？

利用平方差公式计算的关键：确定a和b.其中两个完全相同的项为a，另两个只有符号不同的项为b，其结果等于符号相同的数的平方减去符号不同数的平方.

3、现学现卖：按要求填写下面表格

算式

与平方差公式中a对应的项

（x+y）（x-y）

与平方差公式中b对应的项

写成“a2-b2”的形式

计算结果

（m+3）（m-3）

（2x+1）（2x-1）

小组讨论得出结果，然后教师给出答案.

注意：根据学生层次的不同，若学生不能观察出公式特征，教师可增加启发性的问题，如：“两个多项式有什么相同，有什么不同？”“两项的符号都不同吗？”“等于什么？”学生由此观察发现公式的特征.

（三）例题教学

1、（1）（2x+y）（2x-y）

（2）（11x+2）（x-2）

22（3）（-5a+3b）（-5a-3b）

（4）（m+n）（n-m）

（可让学生先自己尝试计算，然后让部分学生上黑板，其他学生在练习本上完成，同桌交流答案，教师巡视，对错误进行辨析，最后由教师规范书写步骤.）

2、活学活用：

运用平方差公式计算：

1）59.8 ×60.2

2）101 ×99 （其中第1题师生共同分析式子特点，由教师给出规范步骤，第二题让同学板演或口答.）

（四）实战演练

1、我问你答：请你为你的同桌出一道能用平方差公式计算的问题.

（在练习本上完成，先由同桌同学互查互纠，教师巡视过程中，如果有有争议的问题，提出来由老师解决.对共性的错误，教师展示给同学辨析，纠正错误.）

2、小试牛刀：下列各式的计算是否正确？如不正确，应怎样改正？

1）（x+4）（x-4）=x2-4；

（

）

2）（a+2b）（a-2b）=a2-4b；

（

）

3）（-2y+3）（2y+3）=4y2–9.

（

）

3、应用拓展：运用平方差公式计算：

（1）（x+2y）（x-2y）

（2）（2a-b）（b+2a）

（3）（4a+3b）（4a-3b）

（4）（-3m+2n）（3m+2n）

4、请你支招

有一位狡猾的地主，

把一块边长为a米正方形的土地.租给李老汉种植.今年，他对李老汉说：“我把你这块地一边增加4米，另一边减少4米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”李老汉一听，觉得好象没有吃亏，就答应.同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？

4 a （五）课堂小结：

1、通过本节课的学习，你认为：

4

（1）什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？

（2）平方差公式中字母a、b可以是那些形式？

（3）怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？

2、师生总结：

（1）平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2（2）我们在运用平方差公式时，要注意以下几点：

①公式中的字母a、b可以是任意代数式；

②利用平方差公式计算的关键是：准确确定a和b；

③完全相同的看作a，只有符号不同的看作b.

（六）布置作业