多项式乘以多项式特级教师教学实录

第一章

整式的乘除

1.4整式的乘法（3）

一、

学生分析：

通过前两课时的学习，学生已经掌握了单项式乘单项式、单项式乘多项式的法则，并熟悉相关的计算，为本课时多项式乘多项式的学习奠定了知识基础。另外，在前面的学习中，学生经历了一些探索活动，初步积累了一些经验，在上一课时探索单项式乘多项式的法则时，学生体会了对同一面积的不同表达和乘法分配律的运用。

二、教材分析：

教材主要是让学生经历猜想、探索、验证多项式乘以多项式的法则的过程，理解法则，并能灵活应用法则进行计算、解决一些实际问题，体会转化的数学思想方法。即本节课所学习的多项式乘多项式，学生根据上节课学习过程中积累的经验，很容易将它转化为已学过的单项式与多项式相乘，进而转化为单项式与单项式相乘。所以本节课的学习既是对前面两节的综合运用，也是对前面两节学习的进一步深化。

三、教学目标：

1、知识与技能：探索并掌握多项式乘多项式的法则，灵活进行多项式乘法运算。

2、过程与方法：经历探索多项式与多项式乘法法则的过程，理解多项式与多项式相乘的运算算理，体会乘法分配律的作用及转化思想在解决问题过程中的应用，发展学生有条理的思考和语言表达能力。

3、情感态度与价值观：在解决问题的过程中了解数学的学习方法，培养学生善于复习，勇于创新的学习习惯。

四、教学设计：

（一）复习回顾：

教师提出问题，引导学生复习上节课所学的单项式乘多项式：

1、如何进行单项式乘多项式的运算？举例说明。

2、计算：

（1）（3mn)2(m2mnn2) （2）2a2a(2a5b)

目的：单项式乘以多项式运算是多项式乘以多项式运算的基础，帮助学生回顾单项式乘多项式的运算很有必要。并重温探索法则过程中所积累的活动经验。（1）要注意先平方；（2）要注意符号和合并同类项。

（二）创设情境：

图1-1是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得长方形（图1-2）的面积可以怎样表示？

学生独立思考后，进而交流合作，会产生了四种方法：

方法一：长方形的长为（m+a），宽为（n+b）,所以面积可以表示为（ma)(nb)；

m 图1-1 m 图1-2 a n n b 方法二：长方形可以看做是由四个小长方形拼成的，四个小长方形的面积分别为mn，mb，an，ab，所以长方形的面积可以表示为mnmbanab；

方法三：长方形可以看做是由上下两个长方形组成的，上面的长方形面积为b（m+a），下面的长方形面积为n（m+a）,这样长方形的面积就可以表示为n（m+a）+ b（m+a），根据单项式乘多项式的法则，结果等于nmnabmba

方法四：长方形可以看做是由左右两个长方形组成的，左边的长方形面积为m（b+n），右边的长方形面积为a（b+n）,这样长方形的面积就可以表示为

m（b+n）+ a（

b+n），根据单项式乘多项式的法则，结果等于mbmnaban

四种方法表示的是同一个长方形的面积，于是我们得到：

（ma)(nb)=n(ma)b(ma)=m(bn)a(bn)=mnmbanab

教师引导学生观察这个等式，并启发性的将等式板书为以下形式：

（ma)(nb) =n(ma)b(ma)

或（ma)(nb)=m(bn)a(bn)

或（ma)(nb)=mnmbanab

式子的最左边是两个多项式相乘，最右边是相乘的结果，由此引出新课，多项式与多项式的乘法。

目的：引导学生通过观察、计算、类比、归纳获得数学猜想.。在上一课时中，学生已经有了利用图形面积探究法则的经验，因此用不同方法表示同一图形面积猜想出多项式乘多项式法则应该不困难，自然引出新课。

（三）自主探究：

1、你能说出（ma)(nb)=n(ma)b(ma)这一步运算的道理吗？

2、结合这个算式（ma)(nb)=mnmbanab，你能说说如何进行多项式与多项式相乘的运算？

3、如何用一句话归纳总结多项式与多项式相乘的运算法则？

目的：学生利用图形面积得出数学猜想，寻求算理，发展推理能力。这里设置了层层递进的思考题，目的是为了进一步加强学生对算理的认识。问题1主要是把（m+a）看做是一个整体，利用单项式乘多项式法则即是利用乘法分配律即可得到。问题2直观体现如何进行多项式与多项式相乘的运算，方便抽象概括多项式乘多项式的法则。

（四）归纳小结：

在教师的启发下，学生先独立思考，再归纳总结，得到多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

学生类比上节课的法则学习过程，总结表述出多项式乘多项式的法则，并能运用乘法分配律就法则的推导给出合理的解释。用乘法分配律展开时要注意做到不重不漏。

（五）范例点击：

教师通过例题，引导学生应用多项式乘多项式的法则进行计算。教学中，可先放手给学生独立完成，教师及时了解问题，再有针对性的讲解补充。

例1、

计算：

（1）（2mn)2

（1x）(0.6x) （2）(2xy)(xy) （3）目的：例题选择了3个小题，其中前两个是二项乘二项，第三个是平方形式，目的是让学生通过不同形式的多项式相乘，灵活应用法则，针对解决不同的问题，积累解题经验。并让学生反思总结，巩固深刻，再进行有目的的练习。

教师与学生共同总结易错点：

1、两个多项式相乘，是把一个多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项相乘，再把它们的积相加，要注意不要漏乘；

2、进行乘法运算时，要注意确定积中各项的符号是正或负；

3、两个多项式相乘，他们的积是和的形式，在没合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积，注意检查。

（六）随堂练习：

1、计算：

（1）（m2n)(m2n) （2）（2n5)(n3) （3）(axb)(cxd)

（4）（x2y)2 （5）（x1)(x2x1)

学生板演完成后教师进行点评，并让学生总结两项式乘两项式，结果可能有几项？

2、计算：（2x-1）(x5)(x5)(x3)

目的：通过练习，让基础薄弱的学生进行基本的巩固练习，加深理解，并强调注意符号问题和整体思想。

（七）拓展深化：

设计两道题，起到抛砖引玉，让学生了解题型，熟悉转化方法。

1、若(mxy)(xy)2x2nxyy2,

求m，n的值.

2、解方程（x2）(x3)(x1)(x4)

目的：通过拓展深化，让学生熟悉题型的变化，达到巩固提高目的。注重对学生思维能力的培养，在学生的最近发展区内提出较高要求，能够激发学生学习数学的兴趣。这两题分别蕴含着恒等问题的待定系数法和方程的思想，通过练习，促使学生运用所学知识解决不同的问题，体现数学知识间的联系与转化，提高学生解决问题的能力。

（八）课堂小结：

教师引导学生回顾本节课的学习过程，学生自己总结：

1、本节课学习了哪些知识？

2、本节内容与前两节的有什么联系？主要学习到什么数学思想方法？

3、对于本节课的学习还有什么困惑？

目的：回顾整节课的学习，教师引导学生从知识的学习、方法的领悟、相关内容的逻辑关联等方面进行归纳总结，使所学知识纳入个人的知识建构体系。

五、教学设计反思：

整式的乘法这专题的知识前后关联紧密。因此，采用先回顾，再创设情境引入。在教学过程中，我们既要让学生知道数学知识的承上启下，也要让他们体会到解决数学问题的思想方法。整式乘法这三课时法则的探索在难度上是逐渐深入的，在方法和思路上却又是一致的，有时遇到新问题，可以效仿用过的数学思想方法来解决，扎实掌握数学学习方法，提高数学学习能力，形成数学知识体系。