平方差公式的应用ppt课件配套教案内容

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平方差公式

1.通过探索平方差公式的过程,进一步培养学生的符号感和推理能力.

2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的计算.

1.通过几个具有特殊形式的多项式相乘,找出一般规律,探索平方差公式,并用公式进行简单的计算.

2.通过剪纸拼图,了解平方差公式的几何背景.

通过对平方差公式结构的认识,体会数学中的结构美、简约美.

【重点】

1.平方差公式及其应用.

2.综合运用平方差公式解决简单的实际问题.

【难点】

1.体会如何应用平方差公式.

2.正确理解平方差公式中的a,b.

第课时

1.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.

2.在探索平方差公式的过程中,增强学生的符号感和推理能力,培养学生的观察、归纳和概括的能力.

1.通过小组合作,让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦,培养学生之间合作互助的团队精神.

2.通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中,培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.

1.在探究学习中体会数学的现实意义,培养学习数学的信心.

2.鼓励学生交流、活动、合作,初步形成参与数学活动、主动合作的意识.

【重点】

经历探索平方差公式的过程,会用平方差公式进行运算.

【难点】

理解平方差公式的结构特征及灵活应用公式计算.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P20.

导入一:

从前,有一个狡猾的地主,把一块边长a(a>2)米的正方形土地租给张大爷种植.第二年,他对张大爷说:“我把这块地变为一边减少2米,相邻另一边增加2米的长方形,继续租给你,租金不变,你也没吃亏,你看如何?”你知道张大爷是否吃亏了吗?谈谈你的想法,与同伴交流.

[处理方式]

学生独立思考分析,并写出计算过程,与同伴交流,积极展示自己的想法.

2学生板演:(a+2)(a- 2)=a·a- 2a+2a- 4=a- 4.

【思考】

你认为张大爷吃亏了吗?

22生:张大爷吃亏了.因为张大爷原来土地的面积为a平方米,后来土地的面积为(a+2)(a- 2)=(a- 4)平方米,面积减小了,而租金没变,所以吃亏了.

2师:运用多项式乘多项式的法则可以计算(a+2)(a- 2)=a- 4,那么这种类型的运算有没有简单算法呢?今天这节课就让我们共同来学习这类多项式乘多项式的运算.

[设计意图]

一方面通过对多项式乘多项式法则的复习,为学生本节课的探究学习做好知识铺垫.另一方面通过故事情境引入,既巩固了多项式乘多项式法则,又设置了悬念,激发学生的求知欲望及学习兴趣,为本节课平方差公式的探究做好情感铺垫.

导入二:

王捷同学去商店买了单价是9.8元的糖果10.2千克,售货员刚拿起计算器,王捷就说出应付99.96元,结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说:“你真是个神童,怎么算得这么快?”

同学们,想知道王捷同学是怎样速算的吗?学习了本节课的知识,你就能知道王捷同学速算的奥秘了.我们快来学习新课吧!

[处理方式]

通过讲述“购物速算”这一故事,激发学生的兴趣,让学生主动探索问题,独立列式,尝试解决.

[设计意图]

由生活中的实例引入新课,既能培养学生的学习兴趣,又能激发学生的求知欲,为新课的学习做好铺垫.

探究活动1

探究平方差公式

思路一

问题1 多项式乘多项式的法则是什么?你能用公式表达出来吗?

[处理方式]

学生思考并回答,教师及时纠正并进行点评.

问题2 计算下列各题:

(1)(x+2)(x- 2);

(2)(1+3a)(1- 3a);

(3)(x+5y)(x- 5y);

(4)(2y+z)(2y- z).

[处理方式]

由四名学生在黑板上板演计算过程,其余学生在练习本上完成.教师巡视,对于计算中出现的问题及时给予指导,学生完成后共同纠错.同时用不同的彩色粉笔标出题目及结果,为下一步的探究做铺垫.

问题3 上述各题中相乘的两个多项式有什么特点?它们相乘的结果有什么特点?你有什么发现?再举两例验证你的发现.

[处理方式]

学生观察、思考、讨论,各抒己见,教师引导学生概括出一般性的结论.

问题4 猜一猜:(a+b)(a- b)=

.

你能用文字语言表达这个规律吗?

[处理方式]

通过学生自己的计算、观察、发现、总结、归纳,得出平方差公式(a+b)(a- b)=a- b,并发现公式的特点:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

填空.

(a+b)(a- b)

a

b

a2- b2

(1+x)(1- x)

(- 3- b)(- 3+b)

(a+1)(- a+1)

(0.3x- 1)(1+0.3x)

[设计意图]

让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(具有的规律)、猜想的过程,学生在发现规律后,还应通过符号运算对规律进行证明.使学生在探究、合作、交流的过程中,展示思维过程.

思路二

展示算式及其结果:

22(1)(x+2)(x- 2)=x- 2;

22(2)(1+3a)(1- 3a)=1- (3a);

22(3)(x+5y)(x- 5y)=x- (5y);

22(4)(2y+z)(2y- z)=(2y)- z.

【思考】

(1)等式左边的两个多项式有什么特点?

(2)等式右边的多项式有什么规律?

(3)你能用一句话归纳出上述等式的规律吗?

[处理方式]

小组讨论,分析总结以上算式及运算结果的特征结构.学生积极发言,左边为两数的和乘这两数的差,即左边是两个二项式的积,在这两个二项式中,有一项完全相同,另一项互为相反数;右边为这两个数的平方差,即完全相同的项的平方减去符号相反项的平方.

根据学生叙述归纳总结并板书:

22平方差公式:(a+b)(a- b)=a- b.

两数和与这两数差的积,等于它们的平方差.

【思考】

根据平方差公式你能按要求填写下面的表格吗?

22与平方差公式与平方差公式写成“a- b”算式

计算结果

中a对应的项

中b对应的项

的形式

(x+y)(x- y)

(2x+1)(1- 2x)

(2a- 3b)(2a+3b)

[处理方式]

学生独立完成后小组内交流探讨,老师可以在学生确实有困难时进行适当点拨.

【思考】

使用平方差公式要注意什么?

总结归纳:要注意平方差公式中的a和b可以代表一个字母、一个数字或一个单项式(多项式).当a或b代表多项式时,进行平方时底数一定要加括号.

[设计意图]

对特殊的多项式乘多项式设置问题,使学生在计算过程中发现规律及规律的一般性,提出自己的猜想,并尝试用数学语言进行描述.同时经过填表、设疑让学生经过思考、讨论、交流,进一步熟悉平方差公式的本质特征,掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究过程,从而验证猜想,得到规律,形成结论.

探究活动2

平方差公式的应用

【活动内容1】

下列各式能否用平方差公式进行计算?为什么?

(1)(a- b)(a+b);

(2)(- b+a)(a- b);

(3)(- a+b)(- a- b);

(4)(- a- b)(- b+a).

[处理方式]

根据公式的特点,指导学生认准公式的特征:这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数,右边为这两个数的平方差,即完全相同的项的平方减去符号相反的项的平方.教师指名学生口答(1)(3)(4)能运用平方差公式的理由,即回答出相同项是谁,相反项又是谁,并让学生叙述(2)不能应用公式的理由.

【活动内容2】

22

(教材例1)利用平方差公式计算.

(1)(5+6x)(5- 6x);

(2)(x- 2y)(x+2y);

(3)(- m+n)(- m- n).

22[处理方式]

教师引导学生分析,参照平方差公式“(a+b)(a- b)=a- b”解决问题并进行板演算式(1)的运算过程,然后由两名学生在黑板上板演(2)(3)的计算过程,其余学生在练习本上完成.教师巡视,对于计算中出现的问题及时给予指导,同时强调不要直接写出结果,要写出利用公式运算的过程,规范运算的步骤.学生完成后进行讲评.

解:(1)(5+6x)(5- 6x)=5- (6x)=25- 36x.

2222(2)(x- 2y)(x+2y)=x- (2y)=x- 4y.

2222(3)(- m+n)(- m- n)=(- m)- n=m- n.

【即时训练】

计算.

(1)(a+3b)(a- 3b);

(2)(3+2a)(- 3+2a);

(3)(- 2x+y)(- 2x- y).

2222解:(1)(a+3b)(a- 3b)=a- (3b)=a- 9b.

222(2)(3+2a)(- 3+2a)=(2a)- 3=4a- 9.

2222(3)(- 2x+y)(- 2x- y)=(- 2x)- y=4x- y.

[设计意图]

在学生认识公式的基础上,训练学生正确应用公式计算,体会公式在简化运算中的作用,并通过巩固练习,使学生熟悉公式的结构特点.

222

(教材例2)利用平方差公式计算.

(1);

(2)(ab+8)(ab- 8).

[处理方式]

本题由学生自主完成,让学生在黑板上板演计算过程,其余学生在练习本上完成,完成后互相交流.教师巡视,发现学生在运用公式的过程中出现的问题,及时给予指导,强调运算时要注意的事项,并进行评价,引导学生发现公式中的a,b不仅可以表示具体的数字,还可以是整式.

解:(1)=- y=x- y.

2222(2)(ab+8)(ab- 8)=(ab)- 8=ab- 64.

【即时训练】

计算.

(1)(x+2y)(- x+2y);

(2)(3m- 5n)(5n+3m);

(3)(- 1+xy)(- 1- xy);

(4)(- 2ab- 5)(2ab- 5).

2222解:(1)(x+2y)(- x+2y)=(2y)- x=4y- x.

2222(2)(3m- 5n)(5n+3m)=(3m)- (5n)=9m- 25n.

2222(3)(- 1+xy)(- 1- xy)=(- 1)- (xy)=1- xy.

2222(4)(- 2ab- 5)(2ab- 5)=(- 5)- (2ab)=25- 4ab.

[设计意图]

让学生进一步理解公式并体会公式中a,b的含义,加深对字母含义广泛性的理解.

222

下列计算对不对?如果不对,怎样改正?

(1)(x+2)(x- 2)=x- 2;

222244(2)(2a+b)(2a- b)=2a- b;

222(3)(- 3a- 2)(- 3a- 2)=(- 3a)- 2=9a- 4.

[处理方式]

让学生依据平方差公式的特征判断计算是否正确,重点说出理由及改正后的结果.

2解:(1)错;应改为(x+2)(x- 2)=x- 4.

222244(2)错;应改为(2a+b)(2a- b)=4a- b.

2(3)错;应改为(- 3a- 2)(- 3a- 2)=9a+12a+4.

[设计意图]

对学生经常出现的错误做具体分析,以加深学生对公式的理解,进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件.通过观察平方差公式,体验公式的简洁性,并通过分析公式的本质特征掌握公式.在认清公式的结构特征的基础上,进一步剖析a,b的广泛含义,抓住概念的核心,使学生对公式的运用得心应手,起到事半功倍的效果.

[知识拓展]

1.a,b仅仅是符号,它们可以表示数,也可以表示式子,无论表示什么,它们的和与差的积一定等于它们的平方差.

2.认识公式的特征至关重要.平方差公式的特征:公式的左边是两个数的和乘这两个数的差,而公式的右边是这两个数的平方差.

2

1.平方差公式及其应用.

222.平方差公式的字母表示:(a+b)(a- b)=a- b.

平方差公式的语言表述:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差.

1.下列式子可用平方差公式计算的是

(

)

A.(a- b)(b- a)

B.(- x+1)(x- 1)

C.(- a- b)(- a+b)

D.(- x- 1)(x+1)

解析:A选项中对应的项符号分别相反,不符合公式特点,故此选项错误;B选项中对应的项符号分别相反,不符合公式特点,故此选项错误;C选项中a的符号相同,b的符号相反,符合公式特点,故此选项正确;D选项中对应的项符号分别相反,不符合公式特点,故此选项错误.故选C. 2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是

(

)

A.(x- 2y)(2y+x)

B.(- 2y- x)(x+2y)

C.(x- 2y)(- x- 2y)

D.(2y- x)(- x- 2y)

22解析:A选项(x- 2y)(2y+x)=(x- 2y)(x+2y)=x- 4y,所以A选项不正确;B选项(- 2y- x)(x+2y)不符合平方22差公式结构特征,所以B选项正确;C选项(x- 2y)(- x- 2y)=- (x- 2y)(x+2y)=- x+4y,所以C选项不正确;D选22项(2y- x)(- x- 2y)=(x- 2y)(x+2y)=x- 4y,所以D选项不正确.故选B. 3.下列各题的计算是否正确?错的如何改正?

2(1)(x+2)(x- 2)=x- 2;

2(2)(- 3a- 2)(3a- 2)=9a- 4.

2解:(1)错误,改正:(x+2)(x- 2)=x- 4.

2(2)错误,改正:(- 3a- 2)(3a- 2)=4- 9a.

4.计算.

(1)(a+3b)(a- 3b);

(2)(3+2a)(- 3+2a);

22(3)(- 2x- y)(- 2x+y).

22解:(1)(a+3b)(a- 3b)=a- 9b.

2(2)(3+2a)(- 3+2a)=4a- 9.

22222(3)(- 2x- y)(- 2x+y)=(- 2x)- y

42=4x- y.

225.已知a+2b=5,a- 2b=3,求a- 4b的值.

22解:由题意可知a- 4b=(a+2b)(a- 2b)=5×3=15.

探究活动1

探究平方差公式

探究活动2

平方差公式的应用

例1 例2 例3 第1课时

一、教材作业

【必做题】

教材第21页习题1.9知识技能第1题.

【选做题】

教材第21页习题1.9联系拓广第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是

(

)

A.(a+b)(b+a)

B.(- a+b)(a- b)

C.

D.(a- b)(b+a)

2.下列计算中,错误的有

(

)

2222222①(3a+4)(3a- 4)=9a- 4;②(2a- b)(2a+b)=4a- b;③(3- x)(x+3)=x- 9;④(- x+y)·(x+y)=- (x- y)(x+y)=- x- y2.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.下列各式中能用平方差公式计算的有

(

)

(1)(x+1)(1+x);

(2)(a+b)(b- a);

(3)(- a+b)(a- b);

2222(4)(c- d)(c- d).

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

22

【能力提升】

224.填空:(- 6m+

)(2n+

)=4n- 36m.

5.计算.

(1)(- 3x+2)(- 3x- 2);

(2)(4x- 3)(4x+3)- (x- 2)(2+x).

【拓展探究】

6.计算.

2(1)(m+2)(m- 2)(m+4);

(2)(a+b+2)(a+b- 2).

7.一块边长为10米的正方形草坪.把这块草坪的一边减少3米,相邻的另一边增加3米,整改前后的草坪的面积变化了吗?

【答案与解析】

1.C(解析:一个算式能否用平方差公式计算,关键要看这个算式是不是两个数的和与这两个数的差相乘的形式,选项A,B,D都不符合平方差公式的结构特征,只有选项C可以用平方差公式计算.故选C.)

22222.D(解析:①(3a+4)(3a- 4)=(3a)- 4=9a- 16;②(2a- b)(2a2+b)=(2a2)2- b2=4a4- b2;③(3- x)(x+3)=32- x2=9- x2;④(- x+y)(x+y)=- (x- y)(x+y)=- (x2- y2)=- x2+y2.故选D.)

3.A(解析:(1)(3)(4)不符合平方差公式结构特征,(2)符合.故选A.)

22224.2n

6m(解析:由(a+b)(a- b)=a- b可知(- 6m+2n)(2n+6m)=4n- 36m.)

222222225.解:(1)(- 3x+2)(- 3x- 2)=(- 3x)- 2=9x- 4.

(2)(4x- 3)(4x+3)- (x- 2)(2+x)=(4x)- 3- (x- 2)=16x- 9- x2+4=15x2- 5.

22242226.解:(1)(m+2)(m- 2)(m+4)=(m- 4)(m+4)=m- 16.

(2)(a+b+2)(a+b- 2)=[(a+b)+2][(a+b)- 2]=(a+b)- 2=(a+b)- 224=a+2ab+b- 4.

27.解:改成长方形后,草坪的面积变小了.原正方形草坪:10×10=100(m).整改后(长方形草坪):(10+3)×(10- 2223)=10- 3=91(m),所以改成长方形后,草坪的面积变小了.

在教学设计时提供充分探索与交流的空间,使学生进一步经历观察、猜测、推理、交流、反思等活动,培养学生类比的思想方法,让学生学会一些探究的基本方法与思路,让学生自己当老师,一方面让其他学生容易接受,另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣,让学生在探究中经历知识产生及发展的过程,体会学习数学的乐趣.

在教学过程中,应鼓励学生大胆去做、去说、去写,以便发现问题,进行有针对性的矫正.在一些变形的公式运用中,对于相同项和相反项的识别还要进一步强化.

运用平方差公式计算一定要看是否符合平方差公式的结构特征.要着重指导学生发现平方差公式的特点:左边为两数的和乘这两数的差,右边为这两个数的平方差.另外还要注意公式中的a,b不仅可以表示具体的数字,还可以是整式.

随堂练习(教材第21页)

22222解:(1)a- 4.

(2)9a- 4b.

(3)x- 1.

(4)16k- 9.

习题1.9(教材第21页)

知识技能

1.解:(1)9x- 49y.

(2)0.04x- 0.09.

(3)mn- 9n.

(4)4x- 9y.

(5)联系拓广

2n242.解:(1)a- b.

(2)a- 1.

22222222x2- 4y2.

(6)n2- 25m2.

为体现学生在教学过程中的主体作用,采用引导学生自主学习、分组协作、合作探究、练习巩固的方法进行学习.

计算:(2+1)(22+1)(24+1)·…·(2128+1).

〔解析〕

此题直接计算比较复杂,如果注意括号内都是两项之和,可以考虑构造平方差公式,与(2+1)能22构成平方差公式的是(2- 1),两式相乘出现(2- 1),与后面的(2+1)又构成平方差公式,以此类推.

24128解:(2+1)(2+1)(2+1)·…·(2+1)

24128=(2- 1)(2+1)(2+1)(2+1)·…·(2+1)

224128=(2- 1)(2+1)(2+1)·…·(2+1)

44128=(2- 1)(2+1)·…·(2+1)

256=2- 1.

[解题策略]

利用平方差公式的特点巧妙地构造符合平方差公式的形式解决问题.本题考查平方差公式的应用,构造出符合平方差公式的形式是解决此题的关键,难点在于添加(2- 1),使之与(2+1)满足平方差公式.

第课时

1.进一步掌握平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.

2.会通过图形的拼接验证平方差公式,了解平方差公式的几何背景,并会运用所学的知识进行简单的混合运算.

让学生在数学活动中建立平方差公式模型,通过探索规律,归纳出利用平方差公式解决数学问题的方法,培养学生观察、归纳、应用能力.

了解平方差公式的几何背景,培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义,建立学习数学的信心.

【重点】

利用数形结合的思想方法解释平方差公式和运用平方差公式进行简单计算.

【难点】

掌握平方差公式的结构特征,并能灵活运用平方差公式解决问题.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P21~22.

导入一:

[过渡语]

上节课我们学***方差公式,现在先来回顾一下,谁能分别用字母和文字语言叙述平方差公式?

[处理方式]

学生口答,教师适时鼓励.

请同学们利用平方差公式快速计算下列各题.

(1)(mn- 4n)(mn+4n);

(2)(- 2x+3y)(- 2x- 3y);

(3)(6m- n)(- 6m- n);

2(4)(x+1)(x- 1)(x+1).

[处理方式]

学生独立做题,教师巡视,然后出示答案,学生自批,教师利用实物投影展示学生出现的错误做法,组织学生指出、分析并纠正错误.

师:同学们完成的非常好,这节课我们继续学***方差公式.

[设计意图]

复***方差公式,让学生把握运用公式的前提条件是两个多项式相乘,且有一项完全相同,另一项互为相反数.为进一步学***方差公式相关知识做好准备.

导入二:

[过渡语]

大家回顾一下上节课学***方差公式,看谁答的又对又快.

1.平方差公式.

(1)符号表达式:

.

(2)文字表达:

.

[处理方式]

思考后,指名口答,教师进行点评.

2.判断下列算式能否运用平方差公式计算.

(1)(a+2)(a- 3);

(2)(- m- n)(m- n);

(3)(2x+3y)(3x- 2y);

(4)(4x- 3)(- 4x- 3).

[处理方式]

先小组内交流,然后由小组代表汇报结果:(1)不能;(2)能;(3)不能;(4)能.

师:平方差公式是十分重要的数学知识,它的应用非常广泛,这节课我们继续进行探究.

[设计意图]

上节课直接利用多项式乘多项式法则,推导得到平方差公式,设计这一环节的目的是在复习上节课知识的基础上,为本节课的平方差公式的几何解释和进一步应用平方差公式进行较复杂的化简、计算做好知识准备.

[过渡语]

有人说,数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际意义!那么数学真的没有什么实际意义吗?请看下面的问题.

探究活动1

拼图游戏,验证公式

思路一

课件展示:如图所示,边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形.

(1)请表示图中阴影部分的面积:S=

.

[处理方式]

对于正方形的面积公式,学生在小学已经学过,且对这个知识点比较熟悉,可让学生口答完成.对于有困难的同学,可以向同桌或学习组长请教.

(2)请将阴影部分剪拼成一个长方形,画出这个长方形.这个长方形的长=

,宽=

,面积S=

.

[处理方式]

学生动手画图,对于长方形的面积公式,学生对这个知识点比较熟悉,可让学生口答完成,可能出现的画法如下:

(3)比较(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗?

[处理方式]

学生通过(1)(2)的探索,很容易从阴影部分面积与长方形的面积相等得出平方差公22式:(a+b)(a- b)=a- b.

[设计意图]

通过面积相等得出平方差公式,使学生体会平方差公式的实际意义,理解数学知识与现实生活的密切联系,培养学生学数学、用数学的意识.

思路二

[过渡语]

上节课利用多项式乘多项式法则推导得到平方差公式.其实我们还有其他方法来验证、解释公式的正确性.请看下面的问题:

如图(1)所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.

(1)请用式子表示图(1)中阴影部分的面积.

(2)小颖将阴影部分剪拼成了一个长方形(如图(2)所示),这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗?

(3)比较(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗?

[处理方式]

学生分组研讨,教师巡视同学们研讨的情况,随机指导.

教师重点讲解:把剩下的图形(即图(1)中阴影部分)先剪成两个长方形(沿图(1)虚线剪开),我们可以知道,上边的大长方形宽是(a- b),长是a;下面的小长方形长是(a- b),宽是b.由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a- b),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如图(2)所示的图形(阴影部分),它的长和宽分别为22(a+b),(a- b),面积为(a+b)(a- b).这两部分面积应该是相等的,即(a+b)·(a- b)=a- b.这恰好是我们上节课学过的平方差公式.

探究活动2

速算王的秘密

[过渡语]

通过刚才的学习我们进一步加深了对平方差公式的理解,接着来看下面一组题目.(课件展示)

1.想一想:

(1)迅速计算下列各组算式,并观察它们的特点.

(2)从以上的计算过程中,你发现了什么规律?

(3)请你用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?

[处理方式]

独立思考,交流解决方法.

展示:(1)中算式算出来的结果如下:

方法归纳:

(2)从上面的计算可以发现,一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.

2(3)设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数分别为a- 1,a+1,则有(a+1)(a- 1)=a- 1.

[设计意图]

让学生经历由特例进行归纳、建立猜想、用符号表示并给出证明这一重要的探索过程,体会符号运算对证明猜想的重要作用,以及代数运算的推理作用.

探究活动3

运算中的平方差公式

(教材例3)用平方差公式进行计算.

(1)103×97;

(2)118×122.

[处理方式]

给学生一定时间尝试、交流,让学生体会解题方法.

第(1)题教师指导讲解:

因为103=100+3,97=100- 3,

所以103×97

=(100+3)(100- 3)

22=100- 3

=9991.

第(2)题学生独立完成.

118×122

=(120- 2)(120+2)

2=120- 4 =14400- 4 =14396.

[过渡语]

既然同学们都发现了这个秘密,那么接下来咱们来进行一个比赛,看一看哪个同学算的又快又准!(出示课件)

计算.

(1)(200+1)(200- 1);

(2)102×98;

(3)9.9×10.1.

[处理方式]

利用平方差公式解决问题,教师巡视,指导有困难的学生.

22解:(1)(200+1)(200- 1)=200- 1=40000- 1=39999.

22(2)102×98=(100+2)(100- 2)=100- 2=10000- 4=9996.

22(3)9.9×10.1=(10- 0.1)(10+0.1)=10- 0.1=100- 0.01=99.99.

[设计意图]

把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式运用平方差公式计算,体现了转化思想,让学生体会到利用公式可以进行一些有关于数的简便运算,目的是进一步巩固平方差公式.

探究活动4

综合应用平方差公式

[过渡语]

如果把本节课所学的知识与以前的知识融合一下,大家还能解决吗?

(教材例4)计算.

(1)a(a+b)(a- b)+ab;

(2)(2x- 5)(2x+5)- 2x(2x- 3).

〔解析〕

上面两个小题是整式的混合运算,平方差公式的应用能使运算简便,还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.

222解:(1)a(a+b)(a- b)+ab

22222=a(a- b)+ab

42222=a- ab+ab

4=a.

(2)(2x- 5)(2x+5)- 2x(2x- 3)

222=(2x)- 5- (4x- 6x)

22=4x- 25- 4x+6x

=6x- 25.

教师强调:2x(2x- 3)的结果要用括号括起来.

[设计意图]

运用平方差公式进行简单的混合运算,巩固平方差公式,体会平方差公式在解决计算类问题时的简便作用.

[知识拓展]

平方差公式中的字母不仅可以表示一个数字或一个单项式,也可以表示一个多项式,如(a+b- c)(a- b+c)=[a+(b- c)][a- (b- c)].也可以用来计算一些较大数的乘法.

222

对于形如两数和与这两数差相乘的运算,就可以运用平方差公式来计算;在整式的乘法中只有符合公式要求的乘法才能用公式计算,其余的运算仍需按乘法法则进行.

1.在等号右边的括号内填上适当的项.

(1)a+b- c=a+(

);

(2)a- b+c=a- (

);

(3)a- b- c=a- (

);

(4)a+b+c=a- (

).

答案:(1)b- c

(2)b- c

(3)b+c

(4)- b- c

2.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式计算?若可以,请用平方差公式计算.

(1)(a+b+c)(a- b+c);

(2)(a- b- c)(a+b- c).

解:(1)能用.

(a+b+c)(a- b+c)

=[(a+c)+b][(a+c)- b]

22222=(a+c)- b=a+2ac+c- b.

(2)能用.

(a- b- c)(a+b- c)

=[(a- c)- b][(a- c)+b]

22222=(a- c)- b=a- 2ac+c- b.

3.计算:x(x- 1)- 解:x(x- 1)- =x- x- x+

=- x+.

4.计算:(x- 2y)(x+2y)- (x- 1)(x+1).

解:(x- 2y)(x+2y)- (x- 1)(x+1)

222=x- (2y)- (x- 1)

22.

=x- 4y- x+1 2=- 4y+1.

探究活动1

探究活动2

探究活动3

例1 探究活动4

例2 拼图游戏,验证公式

速算王的秘密

运算中的平方差公式

综合应用平方差公式

第2课时

222

一、教材作业

【必做题】

教材第22页习题1.10知识技能第1题.

【选做题】

教材第22页习题1.10问题解决第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在下列多项式的乘法中,不能用平方差公式计算的是

(

)

2222A.(- a- b)(a- b)

B.(c- d)(d+c)

3333C.(x- y)(x+y)

D.(m- n)(- m+n)

22.用平方差公式计算(x- 2)(x+2)(x+4)的结果正确的是

(

)

44A.x- 16 B.x+16 44C.(x- 16)

D.(x+16)

223.若(- 7m+A)(4n+B)=16n- 49m,则A=

,B=

.

【能力提升】

4.计算:(3x- 2)(3x+2)- x(x- 3).

225.已知x+y=6,x- y=5,求x- y的值.

【拓展探究】

246.计算:(a+2)(a+4)(a+16)(a- 2).

【答案与解析】

1.D(解析:选项A,因为- a- b与a- b中的相同项是- b,不同项- a与a互为相反数,所以可以用平方差公式计2算;选项B,因为c- d2与d2+c2中c2为相同的项,- d2与d2互为相反数,所以能用平方差公式计算;选项C,因为x3- y3与x3+y3中x3为相同的项,- y3与y3互为相反数,所以能用平方差公式计算;选项D,因为m- n与- m+n中没有相同的项,所以不能用平方差公式计算.故选D.)

22242.A(解析:(x- 2)(x+2)(x+4)=(x- 4)(x+4)=x- 16.故选A.)

223.4n

7m(解析:由(- 7m+A)(4n+B)=(4n)- (7m)可知,A是与4n相同的项,B是与- 7m互为相反数的项,故A=4n,B=7m.)

2222224.解:(3x- 2)(3x+2)- x(x- 3)=(3x)- 2- (x- 3x)=9x- 4- x+3x=8x+3x- 4.

225.解:x- y=(x+y)(x- y)=6×5=30.

2244486.解:原式=(a- 4)(a+4)(a+16)=(a- 16)·(a+16)=a- 256.

让学生理解平方差公式的本质,即结构的不变性,字母的可变性,这也是数学公式的本质.培养“以数的眼光看式子的整体观念”的数学素养,培养学生的问题解决能力和数学探究能力.在教学中,教师应该有意识地培养学生的推理能力,鼓励学生通过合情推理进行大胆猜测,然后利用符号间的运算验证猜测或解决问题,同时鼓励学生有条理地表达自己的思考过程.

本节课对于时间的把握不好,许多设计在课堂上并没能达到设计的意图.

进行拼图游戏和在数字运算中寻找规律的探索时,一定不要太过急躁,要给学生充分思考的时间,更不要走形式,这样学生才能体会到学习的乐趣,增加其运用公式的主动性.

随堂练习(教材第22页)

解:(1)704×696=(700+4)(700- 4)=700- 4=489984.

(2)原式=x- 4y+x- 1=2x- 4y- 1.

(3)原式=x- x- 22222222=- x.

习题1.10(教材第22页)

知识技能

1.解:(1)原式=4m- 9.

(2)原式=x+x+4- x=x+4.

(3)原式=9x- y+xy+y=9x+xy.

(4)原式=(9a- 4b)=222222222- b2- 8a2.

问题解决

222.解:(1)原式=(1000+7)×(1000- 7)=1000- 49=999951.

(2)原式=(110- 2)×(110+2)=110- 4=12096.

采用情境——探究——概括——应用——拓展的教学模式,营造可探索的情境,引导学生积极参与,掌握规律,主动获取新知识.

计算:3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).

〔解析〕

首先把3写成2- 1,再根据平方差公式的结构特征,把(2- 1)与(2+1)相乘得到(2- 4481),再用(2- 1)与(2+1)相乘得到(2- 1),以此类推,最后得到结果.

22481632解:原式=(2- 1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)

4481632=(2- 1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)

881632=(2- 1)(2+1)(2+1)(2+1)

161632=(2- 1)(2+1)(2+1)

3232=(2- 1)(2+1)

64=2- 1.

22[解题策略]

本题属于平方差公式的应用,要熟记平方差公式(a+b)(a- b)=a- b的结构特征,并能利用公式解题.

2224