阅读与思考 集合中元素的个数课堂实录【2】

1．1

集

合

1．1.1

集合的含义和表示

第1课时

集合的概念

[学习目标]

1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.4.会判断集合是有限集还是无限集．

[知识链接]

1．在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合．

2．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．

3．解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集．

4．一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2. [预习导引]

1．集合的概念

在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．我们约定，同一集合中的元素是互不相同的．

2．元素与集合的关系

知识点

元素与集合的关系

3.常用数集及符号表示

名称

非负整数集

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

关系

属于

不属于

概念

若S是一个集合，a是S的一个元素，就说a属于S 若a不是S的元素，就说a不属于S 记法

a∈S a∉S

读法

a属于S

a不属于S

符号

4.集合的分类

N N＋

Z Q R

有限集：元素个数有限的集合集合

无限集：元素无限多的集合

空集：没有元素的集合，记作∅.

要点一

集合的基本概念

例1

下列每组对象能否构成一个集合：

(1)我们班的所有高个子同学；

(2)不超过20的非负数；

(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；

(4)3的近似值的全体．

解

(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值的全体”不能构成集合．

规律方法

判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．

跟踪演练1

下列所给的对象能构成集合的是________．

(1)所有正三角形；

(2)第一册课本上的所有难题；

(3)比较接近1的正整数全体；

(4)某校高一年级的16岁以下的学生．

答案

(1)(4) 解析

序号

(1)

(2)

能否构成集合

能

不能

理由

其中的元素满足三条边相等

“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以所给的对象不确定，故不能构成集合

(3)

(4)

不能

能

“比较接近

1”的标准不明确，所以所给的对象不确定，故不能构成集合

其中的元素是“16岁以下的学生”

要点二

元素与集合的关系

例2

所给下列关系正确的个数是(

) 1①－∈R；②2∉Q；③0∈N＋；④|－3|∉N＋. 2A．1

B．2

C．3

D．4 答案

B 1解析

－是实数，2是无理数，∴①②正确．N＋表示正整数集，∴③和④不正确．

2规律方法

1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a∉A”这两种情况中必有一种且只有一种成立．

2．符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系．

3．“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．

跟踪演练2

设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系中正确的是(

) A．0∈M,2∈M

C．0∈M,2∉M

答案

B 解析

本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是不是不等式3－2x＜0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M. 要点三

集合中元素的特性及应用

例3

已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值．

解

∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0. 此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1. 此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意．

综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. 规律方法

1.由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验．

2．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．

跟踪演练3

已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________．

答案

1

B．0∉M,2∈M

D．0∉M,2∉M

解析

∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1. 当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意．

当a2－1＝0时，a＝±1.a＝－1(舍)，∴a＝1. 此时，A＝{2,0}，符合题意.

1．下列能构成集合的是(

) A．中央电视台著名节目主持人

B．我市跑得快的汽车

C．上海市所有的中学生

D．香港的高楼

答案

C 解析

A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．

2．集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是(

) A．0∈A

B．a∉A

C．a∈A

D．a＝A

答案

C 解析

由题意知A中只有一个元素a，∴a∈A，元素a与集合A的关系不能用“＝”，也不能确定a是否等于0，故选C. 3．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A；广州________A(填∈或∉)．

答案

∉

∈

解析

深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．

14．已知①5∈R；②∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.正确的个数为________．

3答案

3 解析

①②③是正确的；④⑤是错误的．

5．已知1∈{a2，a}，则a＝________. 答案

－1 解析

当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，由元素的互异性知a＝－1.

1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确定，则不能构成集合．

2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一．这

也是判断一组对象能否构成集合的依据．

3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.

一、基础达标

1．有下列各组对象：

①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．

其中能构成集合的个数是(

) A．2

B．3

C．4

D．5 答案

A 解析

①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算“比较小”没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是不是此集合的元素有明确的标准可依．

2．已知集合A由x＜1的数构成，则有(

) A．3∈A

C．0∈A

答案

C 解析

很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．

3．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是(

) A．锐角三角形

C．钝角三角形

答案

D 解析

根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．

4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为(

) A．2

B．2或4

C．4

D．0 答案

B 解析

若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B. 5．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．

答案

±1

B．直角三角形

D．等腰三角形

B．1∈A

D．－1∉A

解析

由a2≠1，得a≠±1. 6．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________．

答案

3 5解析

由2x－5＜0，得x＜，又x∈N，

2∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3. 7．判断下列说法是否正确？并说明理由．

(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合；

(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；

31(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；

22(4)我校的年轻教师构成一个集合．

解

(1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．

(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．

1(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一个2元素，故这个集合含有三个元素．

(4)不正确．因为年轻没有明确的标准．

二、能力提升

8．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(

) A．2

B．3 D．0,2,3均可

C．0或3

答案

B 解析

因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一验证可得m＝3，故选B. 9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________. 答案

6 解析

∵x∈N，且2＜x＜a，∴结合数轴知a＝6. 10．如果有一集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．

1±5答案

x≠0,1,2，. 21±5解析

由集合元素互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，. 211．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 解

由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

3∴a＝－1或a＝－. 2则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．

373当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，∴a＝－. 222三、探究与创新

12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？

解

∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；

当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；

当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11. 由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．

113．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．

1－a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集．

证明

(1)若a∈A，则1∈A. 1－a1又∵2∈A，∴＝－1∈A. 1－211∵－1∈A，∴＝∈A. 1－－1211∵∈A，∴＝2∈A. 211－21∴A中另外两个元素为－1，. 2(2)若A为单元素集，则a＝1，

1－a即a2－a＋1＝0，方程无解．

1∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．

1－a