3.3 幂函数优秀教学设计

幂函数

学校：厦门市翔安第一中学 授课教师：陈数勤

一、教材分析：

幂函数是苏教2003课标版必修1第三章第三节内容。幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出它们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

二、教学目标：

1、知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解它们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想。

2、过程与方法：通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析。

3、情感、态度、价值观：通过主动参与作图、分析图像的过程，培养探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。

4、重难点：

重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质。

难点: 画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律，总结一般的变化规律。

5、教学方法与手段：

借助多媒体，探究+反思+总结。

三、教学基本流程

构建幂函数的概念画出代表性函数图像实例观察，引入新课→类比联想，探究新知→运用新知，理论迁移→

探索简单的幂函数性质总结一般性研究方法

课堂小结，归纳提升→课后作业→教学反思

四、教学过程设计：

（一）实例观察，引入新课

(1)如果回收旧报纸每公斤１元,某班每年卖旧报纸x公斤,所得价钱y是关于x的函数；

(2)如果正方形的边长为x，面积y,这里y是关于x的函数；

(3)如果正方体的边长为x, 正方体的体积为y, 这里y是关于x函数；

(4)如果一个正方形场地的面积为x, 这个正方形的边长为y，这里y是关于x的函数；

(5)如果某人x秒内骑车行驶了1公里,他骑车的平均速度是y，这里y是关于x的函数。

【师生互动】： 以上问题中的函数有什么共同特征？

上述问题中涉及的函数，都是函数，其中底数是自变量，指数是常数。

【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征。

（二）类比联想，探究新知

1、

幂函数的定义

幂函数的概念：一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数。（注意：yx系数为1，未知数x在底数位置，在指数位置）

【练习】：判断下列函数哪几个是幂函数？



1

（）1y3x　

(2)y(4)yx21(7)y(x1)212　 (3)y2xx21

(5)y1 (6)y；x(8)yx0 (9)yx3答案：（2）（6）（8）

【联系旧知，形成区别】幂函数与指数函数的对比：(关键看自变量x的位置) 【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解。

【快速反应】判断下列函数哪些是指数函数？哪些是幂函数？

（）1y0.2

（2）yx

（3）yx1

（4）y5x

（5）y3x

（6）y5x

答案：指数函数（1）（4）（5）

；

幂函数（2）（3）（6）

答案：f(x)【例题讲解】例1、已知幂函数yf(x)图象经过点(2,2)，试求出这个函数f(x)的解析式。 x12x

2例2、如果函数f(x)(m2m1)xm答案：m2或m1

2m3是幂函数，求满足条件的实数m的值。

122、

组织探究：在同一平面直角坐标系内作出下列幂函数的图像yx,yx,yx,yx,yx

由学生归纳出五个具体的幂函数的性质：

（1）函数yx；

yx；

yx2；yx3和yx1

的图象都通过点（1，1）；

31（2）函数yx；yx；yx是奇函数，函数 23112yx2是偶函数；

23（3）在区间(0,)上，函数yx，yx，yx

和yx是增函数，函数yx是减函数；

（4）在第一象限内，函数yx的图象向上与y轴无

限接近，向右与x轴无限接近。

3、完成下表

1121yx

定义域

值域

奇偶性

yx

R

[0,+∞)

偶

2yx

R

R

奇

3yx

[0,+∞)

[0,+∞)

非奇非偶

2 12

yx

{x|x≠0}

{y|y≠0}

奇

1R

R

奇

[0,+∞)增

单调性

增

(-∞,0]减

公共点

(1,1)

增

增

(0,+∞)减

(-∞,0)减

【师生互动】：

问题一：所有幂函数的图象都过第几象限，不过第几象限？所有幂函数的图象都过哪个公共点？什么样的幂函数过原点？什么样的幂函数不过原点？

问题二:第一象限内，哪些函数是增函数，哪些是减函数？

问题三:

yx,yx,yx

的图象在第一象限的变化趋势是如何？

【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.

4、归纳出一般的幂函数的性质：（先探究第一象限内的图象）

（1）所有的幂函数yx都过第一象限，且图象都过点（1，1），不经过第四象限；至于是否出现在第二、三象限内，要看幂函数的定义域和奇偶性。

（2）0时，幂函数的图象通过原点（0,0），并且在第一象限内是增函数；

当>1时，图象向上，靠近y轴正方向；

当0<<1时，图象向上，靠近x轴正方向；

当=1时，函数yx是一条直线。

（3）0时，幂函数的图象在第一象限内是减函数。 （4）幂函数yx的图象，在第一象限内，直线x1的右侧，图象由下至上，指数逆时针增大；

直线x1的左侧，图象由上至下，指数逆时针增大。

(三）运用新知，理论迁移

例3、已知幂函数yx在第一象限内的图象如图所示，且分别取1,1,为 ．

答案：C4,C2,C3,C1

例4：利用单调性判断下列各值的大小

23121,2四个值，则相应图像依次2(1)5.2和5.3 （2）0.2和0.3 （3）2.5和2.7 0.80.80.8解:（1）yx在(0,+∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴

5.25.3

0.30.30.3 （2）yx在(0,+∞)内是增函数，

∵0.2<0.3 ∴

0.20.3

（3）yx在(0,+∞)内是减函数，

∵2.5<2.7 ∴

2.5变式：用不等号填空：

（1）5.1____ 5.9； （2）1.7aa223.50.530.80.80.30.3252525252.7

25____ 1.7； 1.3（2）若32，则a ____ 0； （4）1.3 0.5。

(2) (3) (4)

答案：(1) 【小结】比较两个数的大小方法: (1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性比较；

(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性比较；

(3)当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个中间数，间接比较。

【设计意图】增强学生对新知的应用能力，从而达到能力的转型和对知识的理解。

3

例5、若（m4)12(32m),求实数m的取值范围。

1212解:幂函数f(x)x的定义域是(0,)且在定义域上是减函数,032mm413m,即为m的取值范围.32

变式：若（m4)2(32m)2,求实数m的取值范围。

1答案：m7或m-

3例2变式1：如果函数f(x)(m2m1)xm件的实数m的值。

22m3是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条22mm11mm20解：由题意可得：22m2m30m2m30m2或m1

m21m3从而有f(x)x3是幂函数，且在区间（0，+）内是减函数。变式2：已知函数f(x)m3m3x2m22解:因为f(x)m23m3xm是幂函数,并且是偶函数，求m的值。

22是幂函数m23m31解之得:m2或m1,又因为f(x)是偶函数,当m1时，f(x)x1不是偶函数，不符合题意，舍去,当m2时，f(x)x2是偶函数，符合题意，综上所述：m2【备用练习】请你根据幂函数的性质找出下列函数对应的图像

122343325332

1312

（ I ）（ G ）

（ E ）( B ）( C )（ A ）

（ H ）( J ）( D ）( F ）

yx,yx,yx,yx,yx,yx,yx,yx,yx,yx（四）课堂小结，归纳提升

(1)幂函数的定义；

(2)幂函数的图象与性质；

(3)利用幂函数的单调性判别大小；

(4)幂函数图像性质的应用. （五）课后作业

1、《名校学案》P47 典例1、典例2、典例3 2、《讲学稿》P43做在书上

4

（六）教学反思

幂函数是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，在学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。本节通过实例，让学生认识到幂函数是一种重要的函数模型，通过研究5个初等函数的图象和性质，让学生认识到幂函数的图像都经过第一象限，在第一象限内，从下往上幂指数越来越大；当幂指数小于零时，图像在第一象限是递减的；当幂指数大于零小于1时，图像是递增上凸的；当幂指数大于1时，图像是递增下凸的。在方法上，我们应注意从特殊到一般进行类比研究幂函数的性质。

学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。在教学过程中，我类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质。同学们课堂上能积极主动参与获得性质的过程，并学会处理未知问题的方法。

教学过程中，首先由生活中的五个实例引入，概念过渡自然，学生易于接受。引导学生从实例出发类比指数函数的定义自己观察、归纳、总结概括出幂函数的定义。在概念理解上，用步步设问、课堂讨论、练习来加深理解。对学生强调了幂函数和指数函数的区别，并从另外一个角度（例1）让学生去认识幂函数。然后，让学生亲自动手画图像，提高学生的动手实践能力，数形结合能力。我借助电脑手段，通过列表、描点、连线作图，引导学生说出图像特征及变化规律，并从而得出幂函数的性质，大部分学生数学基础较差，理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；同时学生学好数学的自信心不强，学习积极性不高。针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学习方法。并逐步学会独立提出问题、解决问题。总之，调动学生的非智力因素来促进智力因素的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。

为了调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习。教学中我引导学生积极参与教学，在对幂函数图像的画法上，我分析学生所画的图像，肯定他们的优点，指出不足。并借助电脑，演示作图过程及图像变化的动画过程，从而使学生直接地接受并提高学生的学习兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。总之，本堂课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。

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