习题1.2优质课教案

函数概念习题教学课

1.课题与课题解析

本节课是人教版数学必修一第一章“1.2函数及其表示”和“1.3函数的基本性质”学习后的一节习题课。

在学生了解函数是描述变量之间关系的基础上，学习了用集合和对应的语言来刻画函数，体会了对应关系在刻画函数概念中的作用，了解了映射、函数及其构成函数的三要素等相关概念。同时也加深了对函数的三种表示方法的理解，分段函数的概念和函数的基本性质（单调性、奇偶性和最值）。用框图表示本节知识结构如下：

课题内容解读：

本节“函数概念”的教学，从外显的“结果”看涉及函数的三要素，函数表示方法和函数性质。从内含的“过程”看：需要使学生明白：现实中存在的关系中，哪些是函数关系，即函数确实是一种重要的数学模型，以及函数性质的研究方法及函数应用价值。从操作层面看需要学生会求函数解析式及定义域，会表示函数，会画出一些函数的图像，会运用函数性质解决一些简单数学问题。从内

隐的本质考虑：要求学生学会用函数的观点来处理实际问题，形成函数、数形结合和模型等数学思想。因此，本节的重点是：函数“过程”与本质中的各项内容，特别是：理解函数性质的研究方法会运用函数解决问题并了解重要的数学思想。

2.目标与目标解析

根据对本节内容的解构，本节习题课目标定位于：在按“结果”推进中挖掘内含的“过程”，在问题解决的题课操作后,理解内隐的函数本质，建构高中数学的函数概念.具体讲：

通过学生画最基础的初等函数，比较函数的三种表示方法理解其各自的特点. 通过学生对问题2-4的解决过程，整理函数知识，理解相关概念，经历从感性到理性从猜想到验证的过程，理解函数性质研究的方法，学会运用函数图像理解与研究函数性质. 3.教学问题诊断

通过本节学习，学生对有关概念不会陌生，对操作层面的各项内容一般会自主进行处理,获取结果.但对“过程”及内隐本质中的各个内容会有初步、零散的了解，但并未真正理解与把握。

本节课需要学生在了解的基础上，理解函数的内含，把握函数的本质，能了解函数研究的基本方法知晓函数性质的基本作用与价值，这些也是本节课的教难点。

通过分解，给出解决难点的方法，设计7个问题组成的问题串，使学生从会解决的问题人手，由浅人深，由点成线，并自主活动，产生比较，引发思考，触及本质，揭示内含，获取新的认知，建构函数概念。

同时由于学生学习基础不同，因此，设计最低要求与较高要求也需要作出安排，要保证优秀学生可以多得，一般学生能有所得。

教师在各个问题解决中依据各问题的设计意图和本节课的教学目标创设生生之间、师生之间的交流，促成对本质和内含的理解。 4.教学过程设计

通过下列问题的解决过程，借助生生、师生之间的交流，构建习题课的教学目标。

例1 求下列函数的定义域

（1）f(x)x （ 2）f(x)1 （3）f(x)x3（4）f(x)x1x51

x2例2 求下列函数的值域

(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}．

(2)y＝x＋1. 2x－1(3)y＝(1≤x≤2)．

x＋1(4)y＝x－2x＋3. (5)y＝x2－4x＋6(0≤x<5)．

(6)y＝x＋x－1.

设计意图：让学生从函数的三要素入手，了解函数的基本概念，把握函数的定义域的基本要求和原则，以及其值域的简单求解方法.

例3 画出下列函数图像

(1)yx,(xZ)；(2)y2x23(3)yx

设计意图：让学生运用已知的画图方法——描点法，运用已有的知识、经验，画出函数图像，概括，归纳，整理基本知识与方法，为后面通过函数图像研究性质做铺垫。

学生先行：限时3分钟让学生独立完成

交流呈现:请两位学生将过程板书到黑板上，教师通过巡视了解学生画图情况. 教师断后：肯定学生作品的正确处,矫正学生存在旳问题并归纳、整理出4点：①画函数图像的“序”：列表，描点，连线②描点法是画函数图像的基本方法（通法）；③函数有三种表示方法及各自的特点（学生板书中，所列出的表就是函数列表法）；④通过表扬先运用奇函数性质，再用描点法画图的学生，

使学生感受性质的作用（若学生没有出现，则教师给出此作图方法，并说明）.例4 画出下列函数图像

11(1)yx; yxxx

设计意图：让学生运用自己原有经验画出图像，在此基础上通过生生、师生交流产生知识运用，思维方式等方面的比较促成学生深人思考，获得新的认知与理解。题（1）要求全体学生都完成，题（2）做得快的学生，多画一个，能获得更多体验. 学生先行：不加提示，不作指导，让学生画出图像. 交流里现：展示学生所作的图像. 教师断后：若学生所作中有，则借用学生作品点评，若学生所作中没有，教师作为问题解决者之一，补充提出。

本节课中函数图像的画法有①描点法；②确定函数定义域，判断函数奇偶性，利用函数性质再用描点法画出一半，最后借助图像的对称性，画出函数图像（以上两种画法，学生中出现的可能性大）；③在题（1）基础上，用一直尺使之垂直于轴，若设垂足为A点,直尺与两个函数图像分别交于B,C点,若AB,AC同向，则延长AB至D,使BD=AC,使直尺不断地运动，重复上面操作得到若干个点，依次用光滑的曲线连接这些点即为所画. 教师提问：比较三种函数图像的画法，你有什么新认识？

x

回答要点：①函数性质的作用；②若函数解析式可以分解成基本函数的和或差，则对其研究有了新的途径；将函数转化为基本函数

设计意图：在学生画出函数图像后，立足函数转化为函数图像，借用开放问题让学生或多或少都有发现都有所发现，都有所得.在此基础上，借用学生的思维产品，促成交流，比较，从而达成知识整理的目的，也为提出新问题做好准备. 学生先行：教师启动语“限时3分钟，写的越多越好，越快越好”，而后学生开始做

交流呈现：教师巡视发现学生不同的思维产品，请之写在黑板上正误都要力争典型、代表充分，时间到后，教师提出“请看黑板，你发现的结果若在黑板上没有，请补充上来”

汇总学生的所得一定会涉及：函数定义域值域的概念；函数奇偶性、单调性的概念、函数最值的概念，也可能会出现单调性的证明方法，最值的求法等

教师断后：这些发现都是借助函数图像得出的，可谓“一切都是图像中”，以突显函数图像的作用体会数形结合思想. 问题3证明以上发现中，你认为正确的结论或否定你认为是错误的结论（考虑到时间限制，可请学生自己各选一个结论）

设计意图：明确数学发现的结论必须要证明，并通过证明、理解推理的依据是概念、推理中逻辑变换的过程，获得证明过程的“序”，同时训练学生推理技能. 学生完成后教师断后要点：

①要说明结论是错误旳可以举特例否定，也可推理否定（归谬）；

②对正确所得编上序号以突出显示；

③点出数学研究的通法：猜想后证明（先感性后再理性先发现后验证）即借用学生所证、所示（不严密的，教师可以现场更正）强调：这就是数学研究与数学学习的基本方法（通法）

④构建一类函数模型指出：此时我们获得了一函数模型，及它内含的性质. 问题5 试把函数yx1x

推广到一般情况，并写出其具有的性质。

设计意图：经历从特殊到一般的数学研究方法，再次经历先猜想再证明的过程，体验类比推理，数学直觉和逻辑推理，并获得一类特殊的函数模型。

教师在学生先行交流呈现的操作要点：

bbt若有yax(ab0)，则由ya(xa),将函数式化为yx(t0)；

xxx①②由问题的编号依次运用类比方法得出新的性质并指出类比也是一种数学研究方法. ③请学生分工证明所得结论（可使学生发现类比的结论）. ④总结研究过程再次印证：先猜想后证明的数学研究方法

⑤借助性质类比问题2题（1）的结果，画出函数图像的草图. 问题6. 根据你对函数yx(t0)上；”的理解，编制一些数学题请写出2—3个并解决. 设计意图：借助演绎推理，开放思维，获得各种“新题”，通过交流呈现产生生生、师生之’的思维交流碰撺出新的“火花”；不仅知道一些数学题的本源

是相同的，而且在运用函数性质解决问题的过程中，认知函数性质的作用，更重要的是，还能知晓什么是“数学模型”，理解模型的价值与作用. 学生先行，交流呈现后的教师断后要点：借用各个所编写出的题的解法的板书，提出思考，什么是数学模型？解决问题中需要关注什么？

问题7 请整理本节课的所得. tx

设计意图：概括、归纳本节课的所得，获取简洁、一般、通用的思路与方法

教师回答要点：

本节习题课至少获得了“四条路”：

函数变化之路：基本初等函数构建初等函数的方法. 性质记忆之路：借助图像“一切均在图像中”.

函数学习之路：作图，观察发现，推理证明，性质应用. 题目编创之路：函数是一种模型，众多题会源于同一个模型

5.布置作业

研究函数yx

t

当(t0)时的性质；

x，