平方差公式的应用PPT专用教学设计内容

《平方差公式的应用》

（第2课时）

教案

探究版

教学目标

知识与技能

会运用平方差公式，进行简单的混合运算．

过程与方法

通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立模型，通过探索规律，归纳出解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力．

情感、态度与价值观

在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心. 教学重点

平方差公式的应用．

教学难点

准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能．

教学过程设计

一、复习导入

1．回顾上节课平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 2．公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差．

3．应用平方差公式的注意事项：

1）注意平方差公式的适用范围

2）字母a、b可以是数，也可以是整式

3）注意计算过程中的符号和括号

二、探究新知

问题1：如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．

a a b

b

（1）请表示图中阴影部分的面积．

（提示：a2-b2）

（2）如果将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？

（提示：长是a+b，宽是a-b；面积是（a+b）﹒（a-b））

比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？

设计意图：会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景．

问题2：相邻两个自然数的乘积

(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点

7979811113  

8080121288(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

探究： (1)中算式算出来的结果如下

7981639911131437963 

1212144886480806400从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1．

追问1：是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？

再找了几个例子：

2426624991019999133

252562510010010000224发现：对于所有的自然数都有上述规律．

追问2：你能用字母表示这一规律吗？

设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1)=a2－1．

这个结论的正确性，用平方差公式可以说明．

设计意图：通过具体数的运算、发现规律、建立猜想、符号表示、证明或说明，让学生经历数学的探究与发现过程．

三、典例精讲

例1．

用平方差公式进行计算：

（1）103×97；（2）118×122．

解：（1）∵103=100+3，97=100－3，

∴103×97

=（100+3）（100-3）

=1002-32

=9991．

（2）118=120－2，122=120+2．

118×122

=(120－2)(120+2) =1202－4

=14400－4

=14396．

设计意图：呼应“速算王的‘绝招’”这一部分，解答学生心中的疑惑，弥合学生心中的“缺口”，让他们体会到平方差公式的威力．

例2．

计算：

（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2；（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)．

分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定

解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2

=a2(a2－b2)+a2b2

=a4－a2b2+a2b2

=a4．

(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3) =(2x)2－52－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x

=6x-25．

设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．

四、课堂练习

计算

(1)704×696

(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) (3)x(x－1)－(x－)(x+) 解：(1)704×696=(700+4)(700－4) =490000－16=489984

(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) =(x2－4y2)+(x2－1) =x2－4y2+x2－1

=2x2－4y2－1

(3)x(x－1)－(x－)(x+) =(x2－x)－［x2－()2］

=x2－x－x2+=－x

五、课堂小结

1．设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1) =a2－1．

2．应用平方差公式的注意事项：

1）注意平方差公式的适用范围

2）字母a、b可以是数，也可以是整式

3）注意计算过程中的符号和括号

设计意图：通过归纳总结，使学生熟练掌握平方差公式，并能灵活地运用公式进行计算．

六、布置作业

1．对于任意整数n，能整除代数式(n3)(n3)(n2)(n2)的整数是（ ）．

A．4 B．3 C．5 D．2

2．在(xyab)(xyab)的计算中，第一步正确的是（ ）．

A．(xb)(ya) B．(xy)(ab)

22222213131313131919

C．(xa)2(yb)2 D．(xb)2(ya)2

3．(3am)(4bn)16b29a2，则m___,n____.

4．1.010.99____．

5．计算：

（1）199819971999；

（2）(x)(x2452164)(x)；

255

答案：1．C 2．C 3．a1；

4．m4b,n3a； 5．（1）1；（2）x4256；

625设计意图：通过拓展练习，提高学生灵活运用平方差公式的能力，体会公式在解决有些计算问题时的巧妙和简洁．

七、课堂检测

1．在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( ) A．(－a－b)(a－b) B．(c2－d2)(d2+c2) C．(x3－y3)(x3+y3) D．(m－n)(－m+n) 2．用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是( ) A．x4－1

B．x4+1

D．(x+1)4

C．(x－1)4

3．下列各式中，结果是a2－36b2的是( ) A．(－6b+a)(－6b－a) B．(－6b+a)(6b－a) C．(a+4b)(a－4b) D．(－6b－a)(6b－a) 4．(5x+3y)·( )=25x2－9y2

5．(－0．2x－0．4y)( )=0．16y2－0．04x2

6．(－x－11y)( )=－x2+121y2

7．若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2，则A= ，B= ．

8．计算

(1)(2x2+3y)(3y－2x2)．

3294

(2)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5)．

(3)(x2y+4)(x2y－4)－(x2y+2)·(x2y－3)．

9．已知x2－2x=2，将下式先化简，再求值

(x－1)2+(x+3)(x－3)+(x－3)(x－1) 答案：1．

D 2．A 3．D

4．(5x－3y) 5．(0．2x－0．4y) 6．(x－11y) 7．A=4n，B=7m

8．(1)9y2－4x4 (2)p4－29p2+100

(3)x2y－10

9．原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=1

32