信息技术应用 收集数据并建立函数模型课件配套优秀教案案例

§3.2.1几类不同增长的函数模型教案

【教学目标】

1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；

2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；

3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题. 【教学重难点】

教学重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。

【教学过程】

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

材料：澳大利亚兔子数“爆炸”

1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．

一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的，感知指数函数变化剧烈。

（三）典型例题

例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

(1)请你分析比较三种方案每天回报的大小情况

思考：各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映

(2)你会选择哪种投资方案？

思考：选择投资方案的依据是什么？

反思：

①

在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？

②

根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借

1

助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点. 解析：我们可以先建立三种投资方案所对应的模型，在通过比较他们的增长情况，为选择方案的依据。

解：设第x天的回报为y元，则方案一可以用y40(xN*)进行描述，方案二可以用y10x(xN*)进行描述，方案三可以用y0.42x1(xN*)进行描述，要对三个方案进行选择，就要对增长情况进行分析。（见课本95页分析

）

点评：在解决实际问题中，函数图像能够发挥很好的作用，因此，我们应该注意提高学生的读图能力。

变式训练1 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染

例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：

y0.25x；ylog7x1；y1.002.

x问：其中哪个模型能符合公司的要求？

反思：

①

此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？

②

根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？

解析：根据实际，提示引导, 判定所给的奖励模型是否符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时，总奖金不超过5万元。

变式训练2

经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n个月，对某种商品需求总量fn

(万件)近似地满足关系

1nn1352nn1,2,3,,12．

150写出明年第n个月这种商品需求量gn

(万件)与月份n的函数关系式. fn

(四)小结

解决应用题的一般程序：

①

审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

②

建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

③

解模：求解数学模型，得出数学结论；

④

还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义。

【板书设计】

一、几类函数模型

2

二、例题

例1 变式1 例2 变式2 【作业布置】课本98页1,2

§3.2.1几类不同增长的函数模型学案

课前预习学案

一、预习目标

对于基本的实际问题能抽象出数学模型。

二、预习内容

（预习教材P95~ P98，找出疑惑之处）

阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”

有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；

2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；

3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题. 学习重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

学习难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。

二、学习过程

3

典型例题

例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

反思：

①

在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？

②

根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.

变式训练1 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？

例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：

y0.25x；ylog7x1；y1.002x.

问：其中哪个模型能符合公司的要求？

反思：

4

①

此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？

②

根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？

变式训练2

经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n个月，对某种商品需求总量fn

(万件)近似地满足关系

1fnnn1352nn1,2,3,,12．

150写出明年第n个月这种商品需求量gn

(万件)与月份n的函数关系式.

四、反思总结

解决应用题的一般程序：

①

审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

②

建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

③

解模：求解数学模型，得出数学结论；

④

还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

五、当堂达标：课本108页2题

课后练习与提高

1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（

）. A．y2x1

B. y=2x1

C. y=2x

D. y=2x

2.

某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（

）. A. 一次函数

B. 二次函数

C. 指数型函数

D. 对数型函数

3. 一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为（

）. A. y=20-2x

（x≤10）

B. y=20-2x

（x<10）

C. y=20-2x

（5≤x≤10）

D. y=20-2x（5

4. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y与投放市场的月数x之间的关系可写成

. 5. 如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t

5

（月）的近似函数关系：yat(t≥0，a>0且a≠1)．有以下叙述

1①

第4个月时，剩留量就会低于；

5②

每月减少的有害物质量都相等；

111③

若剩留量为,,所经过的时间分别是t1,t2,t3，则248t1t2t3.

其中所有正确的叙述是

.

y 1 4(2,)

91

2

3

t(月)

6.某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售. 这样，仍可获得25%的纯利.求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.

6