习题3.2名师课堂实录

高考数学选择题的解题方法专题

杨昌环

一、知识整合

1．高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速.

2．选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。

3．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.

二、方法技巧

1、直接法：

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法. 例1．若sinx>cosx，则x的取值范围是（

）

（A）{x|2k－2235＜x＜2k＋，kZ}

（B）

{x|2k＋＜x＜2k＋，kZ} 4444（C）

{x|k－3＜x＜k＋，kZ }

（D）

{x|k＋＜x＜k＋，kZ} 44442222解：（直接法）由sinx>cosx得cosx－sinx＜0，

即cos2x＜0，所以：3＋kπ＜2x＜＋kπ，选D. 22另解：数形结合法：由已知得|sinx|>|cosx|，画出y=|sinx|和y=|cosx|的图象，从图象中可知选D. 例2．设f(x)是(－∞，∞)是的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于（

）

（A）

0.5

（B）

－0.5

（C）

1.5

（D）

－1.5

解：由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函数，得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B. 也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5. 2、特例法：

用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等. 例3．已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），设P4坐标为（x4,0),若1x42,则tan的取值范围是（

）

（A）(,1)

（B）(,)

131233

（C）(,)

2152

（D）(,)

2253解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tan=由题设条件知，1＜x4＜2，则tan≠1，21，排除A、B、D，故选C. 22n2n例4．如果n是正偶数，则C0n＋Cn＋…＋Cn＋Cn＝（

）

nn1n2n1（A）

2

（B）

2

（C）

2

（D）

(n－1)2

2解：（特值法）当n＝2时，代入得C02＋C2＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C4＋C4＋C4＝8，排除答案D.所以选B. 另解：（直接法）由二项展开式系数的性质有Cn＋Cn＋…＋Cn＋Cn＝23、筛选法: 从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断. 例5．已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（

）

（A）(0，1)

（B）(1，2)

（C）(0，2)

（D）

[2，+∞)

解：∵

2－ax是在[0，1]上是减函数，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x＜1，这与x∈[0，1]不符合，排除答案D.所以选B. 例6．过抛物线y＝4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是（

）

（A）

y＝2x－1

（B）

y＝2x－2

22202402n2nn1，选B.

（C）

y＝－2x＋1

（D）

y＝－2x＋2 解：（筛选法）由已知可知轨迹曲线的顶点为(1，0)，开口向右，由此排除答案A、C、D，所以选B；

22ykx1另解：（直接法）设过焦点的直线y＝k(x－1)，则2，消y得：

y4xx1x2k22x2k222222kx－2(k＋2)x＋k＝0，中点坐标有，消k得y＝2x－2，选B. 2yk(k21)2kk2筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％. 4、代入法：

将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案. 例7．函数y=sin(－2x)＋sin2x的最小正周期是（

）

3（A）

（B）



（C）

2

（D）

4

2)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而

2322解：（代入法）f(x＋f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以应选B；

331另解：（直接法）y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin(2x＋)，T＝π，选B. 232例8．函数y＝sin（2x＋（A）x＝－5）的图象的一条对称轴的方程是（

）

25

（B）x＝－

（C）x＝

（D）x＝

4248解：（代入法）把选择支逐次代入，当x＝－时，y＝－1，可见x＝－是对称轴，又22另解：（直接法）

∵函数y＝sin（2x＋因为统一前提规定“只有一项是符合要求的”，故选A. 55）的图象的对称轴方程为2x＋＝kπ＋即

222

x＝k－π，当k＝1时，x＝－，选A. 22代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。

5、图解法：

据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判

习惯上也叫数形结合法. 例9．在(0,2)内，使sinxcosx成立的x的取值范围是（

）

5,)(,)

（B）(,)

4244553)

（D）(,)(,)

（C）(,44442（A）(解：（图解法）在同一直角坐标系中分别作出y＝sinx与y＝cosx的图象，便可观察选C. 另解：（直接法）由sinxcosx得sin（x－＝0即知选C. 例10．在圆x＋y＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是（

）

22）＞0，即2 kπ＜x－＜2kπ＋π，取k44（A）（，85668）

（B）(，－)

5556868（C）(－，)

（D）(－，－) 5555解：（图解法）在同一直角坐标系中作出圆x＋y＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A. 直接法先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得. 222x1x0例11．设函数f(x)1

，若f(x0)1，则x0的取值范围是（

）

2x0x（A）（1，1）

（B）（1，）

（C）（，2）（0，）

（D）（，1）（1，）

解：（图解法）在同一直角坐标系中，作出函数

yyf(x)的图象和直线y1，它们相交于（－1，1）

和（1，1）两点，由f(x0)1，得x01或x01. 1Ox严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，

1-1而是一种数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时

非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，

否则错误的图象反而会导致错误的选择.如：

例12．函数y=|x2—1|+1的图象与函数y=2 x的图象交点的个数为（

）

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4 本题如果图象画得不准确，很容易误选（B）；答案为（C）。

数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；历年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50％左右. 6、割补法

“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题长度. 例13．一个四面体的所有棱长都为2，

四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（

）

（A）3

（B）4

（C）33

（D）6

BADC解：如图，将正四面体ABCD补形成正方体，则正四面体、正方体的中

心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为2，所以正方体棱长为1，

从而外接球半径R＝3.故S球＝3. 2我们在初中学***面几何时，经常用到“割补法”，在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了“割补法”，这些蕴涵在课本上的方法当然是各类考试的重点内容.因此，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”. 7、极限法: 从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程. 例14．对任意θ∈（0，）都有（

）

2（A）sin(sinθ)＜cosθ＜cos(cosθ)

（B）

sin(sinθ)＞cosθ＞cos(cosθ) （C）sin(cosθ)＜cos(sinθ)＜cosθ

（D）

sin(cosθ)＜cosθ＜cos(sinθ) 解：当θ0时，sin(sinθ)0，cosθ1，cos(cosθ)cos1，故排除A，B. 当θ时，cos(sinθ)cos1，cosθ0，故排除C，因此选D. 2例15．在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（

）

n2n1π，π）

（B）（π，π）

nnn2n1（C）（0，）

（D）（π，π）

nn2（A）（解：当正n棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻两侧面所成二面角α→π，且小于π；当棱锥高无限大时，正n棱柱便又是另一极限状态，此时α→n2n2π，且大于π，故选（A）. nn

用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案。

8、估值法

由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次. 例16．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为

33的正方形，EF∥AB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面

2体的体积为（

）

（A）DEFC915

（B）5

（C）6

（D）

221·32·2＝6，而该多面体的体积必大于6，故选（D）. 3AB解：由已知条件可知，EF∥平面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2，

∴VF－ABCD＝

例17．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（

）

（A）16864π

（B）π

（C）4π

（D）π

939解∵球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝则S球＝4πR2≥4πr2＝23，

316π＞5π，故选（D）. 3估算，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷.其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法. 三、总结提炼

从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”，“手段”都是无关紧要的.所以人称可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速. ．．．．总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.