复习参考题教学设计第一课时

章末复习

学习目标

1.构建知识网络.2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆.3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．

1．知识网络

2．要点归纳

(1)分数指数幂

①a＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

②amnmn1amn(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

(2)根式的性质

①(na)n＝a. ②当n为奇数时，nan

＝a；

a，a≥0，当n为偶数时，a＝|a|＝

－a，a<0.nn

(3)指数幂的运算性质

①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．

②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．

(4)指数式与对数式的互化式

logaN＝b⇔ab＝N(a>0，且a≠1，N>0)．

(5)对数的换底公式

logN＝logmNalogma(a>0，且a≠1，m>0，且m≠1，N>0)．

推论：lognnamb＝mlogab(a>0，且a≠1，m，n>0，且m≠1，n≠1，b>0)．(6)对数的四则运算法则

若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②logMaN＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

(7)指数函数

①理解指数函数概念及单调性．

②会画具体指数函数图象并掌握图象通过的特殊点．

(8)对数函数

①理解对数函数概念及单调性．

②会画具体对数函数图象并掌握图象通过的特殊点．

③了解y＝ax，y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．

(9)幂函数

①了解幂函数的概念．

②结合y＝xα，α＝－1，12，1,2,3的图象，了解它们的性质．

1.nan＝a.(

×

) 2．y＝log2(2x)的图象可由y＝log2x的图象向上平移一个单位得到．(

√

3．y＝ax－1(a>0且a≠1)恒过定点(1,1)．(

√

) 4．y＝－x的增区间为(－∞，0]．(

×

)

)

类型一

指数、对数的运算

例1

化简：(1)(8)23922(10)105;

3考点

根式与分数指数幂的互化

题点

根式与分数指数幂的乘除运算

解

原式＝(2)－13233252(10)10

－112293252＝21010＝210＝－10.

232log3(2)2log32－log3＋log38－255. 9考点

对数的运算

题点

对数的运算性质

322log3解

原式＝log34－log3＋log38－55

994××8－5log59

＝log332＝log39－9＝2－9＝－7. 反思与感悟

指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．

跟踪训练1

计算80.25×42＋(32×3)6＋log32×log2(log327)的值为________．

考点

对数的运算

题点

指数对数的混合运算

答案

111 解析

∵log32×log2(log327)＝log32×log23 ＝lg 2lg 3×＝1，

lg 3lg 23414∴原式＝22＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.

类型二

函数图象及其应用

命题角度1

由解析式判断函数图象

例2

定义运算aa，a≤b，b＝则函数f(x)＝1b，a>b，

2x的图象是(

)

考点

指数函数的图象与性质

题点

指数函数的图象与性质

答案

A 解析

∵当x≥0时，2x≥1，当x<0时，2x<1，

∴f(x)＝1x2，x<0，2＝故选A. 1，x≥0，x

反思与感悟

指数函数，对数函数，幂函数合称基本初等函数(Ⅰ)．其基本性体现之一就是可以作为构成新函数的“原料”．

跟踪训练2

函数y＝2x－x2的图象大致是(

)

考点

指数函数的图象与性质

题点

指数函数图象的应用

答案

A 解析

在同一坐标系内分别画出y＝2x，y＝x2的图象．由图可知，当x2x，∴2x－x2<0，排除C，D.又当x＝2,4时，x2＝2x，排除B.

命题角度2

应用函数图象特点研究性质

例3

如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(

)

A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} 考点

对数函数的图象

题点

同一坐标系下的对数函数与其他函数图象

答案

C 解析

借助函数的图象求解该不等式．

令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图.

x＋y＝2，x＝1，由得

y＝logx＋1，y＝1.2

∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1

反思与感悟

指数函数、对数函数、幂函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．

1x－2跟踪训练3

设函数y＝x3与y＝y0)，则x0所在的区间是(

) 2的图象的交点坐标为(x0，A．(0,1)

C．(2,3)

考点

指数函数的图象与性质

题点

指数函数图象的应用

答案

B 1x－21x－23解析

在同一坐标系中画y＝x3与y＝的图象，如图，由图知当xx，当1x－23x>x0时，2

12－2311－2＝2>13，∴x0>1. 代入x＝2，＝1<2，∴2>x.再代入1，022类型三

指数函数、对数函数、幂函数的性质及应用

命题角度1

比较大小

例4

(1)比较下列各组数的大小：

①27,82；

考点

指数幂的大小比较

题点

比较指数幂大小

解

∵82＝(23)2＝26，

由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27. ②log20.4，log30.4，log40.4；

考点

对数值大小比较

题点

对数值大小比较

解

∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，

∴log0.44

111<<，

log0.42log0.43log0.44即log20.4

33213考点

对数值大小比较

题点

指数、对数值大小比较

解

∵0<213<20＝1，

1log2

3log1211log11,

322111∴log223log1.

323(2)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(

)

A．2x<3y<5z

C．3y<5z<2x

考点

对数值大小比较

题点

指数、对数值大小比较

答案

D B．5z<2x<3y

D．3y<2x<5z

解析

设2x＝3y＝5z＝t>1，则ln 2x＝ln 3y＝ln 5z＝ln t>0，

ln t2ln t3ln t5即x＝，2x＝ln t，y＝，3y＝ln t，z＝，5z＝ln t. ln 2ln 2ln 3ln 3ln 5ln 523－2x－3y＝ln tln 2ln 3

＝ln t2ln 3－3ln 2>0. ln 3ln 2·∴2x>3y.类似地有2x<5z.故选D. 反思与感悟

数的大小比较常用方法：

(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．

(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．

跟踪训练4

比较下列各组数的大小：

(1)log0.22，log0.049；

考点

对数值大小比较

题点

对数值大小比较

lg 9lg 32解

∵log0.049＝＝

lg 0.04lg 0.22＝2lg 3lg 3＝＝log0.23，

2lg 0.2lg 0.2又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，

∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049. (2)a1.2，a1.3；

考点

指数幂的大小比较

题点

比较指数幂大小

解

∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数，当底数0

而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2

当0a1.3. (3)30.4,0.43，log0.43. 考点

对数值大小比较

题点

指数、对数值大小比较

解

∵30.4>30＝1，

0<0.43<0.40＝1，

log0.43

∴log0.43<0.43<30.4. 命题角度2

函数性质综合应用

例5

已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0. (1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．

考点

指数函数与对数函数的关系

题点

指数函数与对数函数的关系

解

(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；

当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，

所以函数f(x)单调递减．

(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0. 3xa①当a<0，b>0时，>－，

22b解得xlog3a;

2b23xa②当a>0，b<0时，<－，

22b解得xlog3a.

2b2反思与感悟

指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．

x＋1，x≤0，1x－>1的x的取值范围是跟踪训练5

设函数f(x)＝x则满足f(x)＋f 22，x>0，

________．

考点

指数不等式的解法

题点

指数不等式的解法

1－，＋∞

答案

4x1111x－＝22>1，当x－≤0，解析

当x>0时，f(x)＝2>1恒成立，当x－>0，即x>时，f 22221x1111x－1>1恒成立．x－1x－＝x＋>，即01，所以－

2lglg a1001．化简为(

) 2＋lglg aA．1

B．2

C．3

D．0 考点

对数的运算

题点

对数的运算性质

答案

B 2lglg a1002lg100·lg a解析

＝

2＋lglg a2＋lglg a＝2[lg 100＋lglg a]＝2. 2＋lglg a2．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(

)

考点

对数函数的图象

题点

同一坐标系下的对数函数与其他函数图象

答案

B 1x－解析

由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3x＝3，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称．显然不符．故选B. 1x3．函数f(x)＝2与函数gx＝log1x在区间(－∞,0)上的单调性为(

) 2A．都是增函数

B．都是减函数

C．f(x)是增函数，g(x)是减函数

D．f(x)是减函数，g(x)是增函数

考点

指数函数与对数函数的关系

题点

指数函数与对数函数的关系

答案

D 1x解析

f(x)＝2在x∈(－∞，0)上为减函数，gx＝log1x为偶函数，x∈(0，＋∞)时2gx＝log1x为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．

22313，则P，Q，R的大小关系是________．(用“<”连接) 4．已知P＝2，Q＝，R＝52－32考点

比较幂值的大小

题点

利用中间值比较大小

答案

Q＜R＜P

解析

由函数y＝x3在R上是增函数，知

23＜13，由函数y＝2x在R上是增函数，知

522－3213－＞23＝2，所以P＞R＞Q. 5．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为________．

考点

对数函数图象

题点

指数、对数函数图象的应用

答案

2 1解析

函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝x图象的交点个数．在2

1同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝x的图象(图略)，易知有2个交点．

2

1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．

2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．