复习参考题国家获奖教案

《函数中的存在性与任意性问题》教学设计

一、

教学内容分析

全称量词、存在量词以及全称命题和特称命题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相，成为高考的热点问题．特别是

“任意”和

“存在”两种量词插足函数，使得函数问题显得扑朔迷离，难度大增．本节内容分两部分，一部分是单变量函数中常见的存在性与任意性问题，这一部分学生比较熟悉，本节课进行系统概况、归纳．第二部分是双变量函数中的存在性与任意性问题，需要学生充分参与探索，交流.难度较大. 二、

学生学习情况分析

学生在学习中经常碰到函数中的“存在性”和“任意性”问题,此类问题考察学生对数学思想方法的领悟程度和综合运用的能力．单变量函数问题学生比较熟悉,双变量函数问题往往需要把相等关系转化为函数值域之间的关系,不等关系转化为函数最值大小的比较问题，学生理解起来有一定难度. 三、

设计思路

本节课内容学生的思维量较大,加上题目往往与导数、不等式知识结合,问题渗透着函数与方程、化归与转化、分类与整合、数形结合等重要数学思想．为了突出量词,本节课对函数值域、最值等知识简单化处理,不设置难点. 本节课通过典型例题,变式题目,经过学生自主探究,小组交流,与老师一起归类总结,形成题型、模式.学生整理笔记.下次遇到同类问题,自然可以顺利解决. 四、

教学目标

知识与技能：深入理解“全称量词”、“存在量词”的含义,结合具体函数，讨论关于任意

与存在性问题的一般解题方法

过程与方法：(1)参与问题的探究过程，寻求解决问题的突破口，小组交流，理解多种变式

下研究函数最值的不同. (2)渗透函数与方程、化归与转化、分类与整合、数形结合等重要数学思想，培养学生分析问题和解决问题的能力. 情感、态度与价值观：感受“存在性”与“任意性”问题既有区别又有联系，体会逻辑用语

表达数学内容的准确性与简洁性，感受“变式”的美感. 五、

教学重点和难点

重点：“任意性”与“存在性”问题的理解与转化

难点：双变量函数中的任意性与存在性问题

六、

教学过程设计

教学过程设计

一、复习全称量词、存在量词

全称量词：所有的、任意一个、一切、每一个、任给、所有的

存在量词：存在一个，至少有一个、有些、有一个、某个、有的

设计意图

复习旧知，

引入课题

二、单变量函数中的任意性、存在性问题

问题1：

例1 (1) 求实数a的取值范围,使函数yxax1存在零点. 2引导学生归纳：“存在”即“方程有解问题”

引导学生归纳：“存解之得a2,或a2.

在”转化为求函数x021(2) 值域，实根分布等a成立,求实数a的取值范围. x0(0,),使 x01问题

解：法一：ax2

x法二：转化成二次方程实根分布问题，

a0只需，即a2.

2a40

问题2：

2例2(1)命题：“对任意

xR，xax10”是真命题，求实数a

的取值范围.

“恒成立”问题学解：只需ymin0即a240,化简，得：2a2.

生比较熟悉

2（2）

x1,3，xax10成立,求实数a的取值范围.

解：法一：令yx2ax1，只需ymin0

(利用二次函数动轴定区间的讨论求函数的最小值) 两种常见方法的复11习

法二：参变分离法:a(x),设g(x)(x)，易知

xx

10g(x),2，a2.

3

2（3）

探究：x1,3，xax10成立,求实数a的取值范围.

11引导学生探究：“存解：参变分离法:a(x),设g(x)(x)，易知在性”与“恒成xx立”问题的区别

1010g(x),2，a.

33

总结:以下问题，如何解决？

（1）xA,af(x)成立，求实数a的取值范围？

总结：不等式问题（2）xA,af(x)成立，求实数a的取值范围？

中，“存在性”“任意性”研究函数的（3）x0A,使af(x0)成立,求实数a的取值范围？

最大、最小值情况是截然不同的. （4）x0A,使af(x0)成立,求实数a的取值范围？

解:转化为方程xax10有解，即a240,

2

教师：以上问题仅限于对单变量函数中“存在性”“任意性”问题的研究.我们往往还会遇到双变量,多变量函数中的“存在性”“任意性”问题. 三、

研究双变量函数中的任意性与存在性问题

问题3：

11

例3 (1)已知函数f(x)x,g(x)asinxa1(a0)，用学生很熟悉的两626个函数，淡化函数若存在

x1,x20,1,使得f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围. 值域的求法,突出量词的研究. a11解:记f(x)的值域为A,, 记g(x)的值域B1a,1,

232引导学生使用集合语言表达,体现集若存在x1,x20,1,使得f(x1)g(x2),只需AB, 合语言的简洁、准a1141确

即

1或1a,解之得a或0a.

2323211学生探讨，交流. 例3 (2)已知函数

f(x)x,g(x)asinxa1(a0),引导学生归纳结626论：此类问题即两若x10,1,x20,1,使得f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值函数值域交集非空

范围.

引导学生归纳结11a论：此类问题即两23a1.

解:只需AB,即函数值域之间有子1a31集关系. 22

11（1）（2）都为相等例3 (3)已知函数

f(x)x,g(x)asinxa1(a0),关系，转化为两个626函数值域之间的关若对任意x1,x20,1,使得f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围. 系

1a4

解:只需f(x)ming(x)max,即1a.

32311

例3 (4)已知函数

f(x)x,g(x)asinxa1(a0),

626

若对x10,1,x20,1,使得f(x1)g(x2)成立,求实数a的取

值范围.

12

解:只需f(x)ming(x)min,即1aa.

引导学生归纳结3311论：此类不等关系例3 (5)已知函数

f(x)x,g(x)asinxa1(a0),只需转化为函数最626值大小的比较问若x10,1,x20,1,使得f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值题. 范围.

1a1a1.

2211例3 (6)已知函数

f(x)x,g(x)asinxa1(a0),626解:只需f(x)maxg(x)max,即若x10,1,x20,1,使得f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围. 解:只需f(x)maxg(x)min,即试一试：

111aa.

22

注意“存在性”与“任意性”之间的联系和区别

a对学生解决问题能2已知函数f(x)x2x，若对任意

a1,3,x1,x23,2， 力的挑战，激发学x生学习热情，深入恒有am1f(x1)f(x2)成立，求实数m的取值范围. 理解“存在性”与“任意性”问题的解：只需am1f(x1)f(x2)max

本质

a

2易知f(x)x2x,x3,2单调递减

xa总结：多变量逐步f(x1)f(x2)maxf(3)f(2)7

转化为双变量依次6a37解决问题

.

即am17,a(1,3)恒成立 m

66

课堂小结: 一、单变量函数的

“存在性与任意性”问题

二、两个变量函数的

“存在性与任意性”问题,其中

（1）相等关系转化为函数值域之间的关系; （2）不等式关系转化为两个函数最值大小的比较问题; （3）本节课我们所研究的函数均存在最大、最小值,做题中我们必须注意区间的开闭,不等式能不能取

“=”对答案的影响.

学生总结

教师补充

结语：随着学习的深入，我们还会遇到更有趣、更丰富的“任意性与存在性”问题，有待同学们进一步的探究学习！

七、

教学反思

只要我们充分理解了全称量词和特称量词所蕴含的数学含义,善于运用集合语言作为辅助工具,揭开量词的神秘面纱,解决此类问题就归结为研究函数的性质等核心问题了。

“存在性”与“任意性”问题，学生在平时的学习，练习中经常碰到，，本节课要充分发挥学生的主体地位，引导学生积极参与探究、发言、交流、相互争议.一起区分、归纳不同题目、题型，形成模式.