习题2.2第二课时教学实录

对数函数及其性质

适用于：高一年级

计划学时：一课时

学习者特征：已经学习过指数函数，了解单调性、奇偶性等函数的基本性质

教学目标：

1．了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系；2．会求对数函数的定义域；

3．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力

教学重点：对数函数的定义、图像、性质

教学难点：对数函数与指数函数的关系

教学方法：启发研讨式

教学用具：投影仪、话筒、音响

教学过程

一、引入新课

某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用x指数函数y=2表示

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是xlog2y

xx我们在y=2与xlog2y这两个式子中，对数式xlog2y可由指数式y=2得到，像这样，对于任意的一个y∈(0,+∞),通过xlog2y，x∈R中都有唯一确定的值和他对应，即可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说xlog2yx是函数y=2的反函数

如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是ylog2x

xylogxy22由反函数概念可知，

与指数函数互为反函数

这一节，我们来研究对数函数

2．8对数函数

1．对数函数的概念

一般地，我们把函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数

我们知道指数函数的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+∞）

由反函数的定义我们可以推出对数函数的定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）

而底数a与指数函数中的a是相同的，所以限制条件也同为a>0，a≠1

2．对数函数的图像

1）作图方法

通常我们用描点法来作图，这里为了更好的了解对数函数与指数函数互为反

函数，我们选择用图像变换的方法来作图

由于指数函数的图像按a>1和01和0

我们知道反函数的是指把自变量与因变量互换的两个函数，故可以知道两个函数互为反函数时，他们的图像是关于y=x直线对称的

分为底数a大于1和大于0小雨1 两种情况来作图

ylog1x

并分别以y=log2x和2为例画图．

1y()xx2的图像，并且尽量画准确

①

首先，画出指数函数y=2和②

画出直线y=x ③先找到特殊点（0,1）（1,0），变化趋势由靠近x轴对称为逐渐靠近y轴，而1y()x2

的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在y=x左侧的先翻，然后再翻在y=x右侧的部分．

2）画出草图

根据对数函数的图像，我们可以得到对数函数的一些性质

3.对数函数的性质

1）定义域：（0，+∞）

2）值域：（-∞，+∞）

这两点我们可以说明图像在y轴右侧

3）过定点（1,0）

4）当a>1时，在（0，+∞）上递增

当0

4.简单应用

例1.求下列函数的定义域

(1) y=loga(2x-3)

(2) y=loga(9-x2) 首先我们观察这两个函数，都是限制了真数，那我们就可以由对数的真数大于0得出定义域

注意对数中真数和底数的限制

例2.利用对数函数单调性比较下列各组数的大小

(1) loga5.1,

loga5.9

(2) log67,

log76 我们先看第一题，这两个对数的底数都是a,那我们对a的大小进行讨论就可以比较出两个数的大小了

再看第二题

两个对数的底数与真数都不相同，那我们就只能与特殊值比较了，很明显，第一个数log67>log66>1，第二个数log76

本节课主要学习了以下内容：对数函数的概念、图像和性质。

要掌握：

（1）函数定义域的求法；

（2）会比较两对数的大小。

（一）同底数比较大小时

1、当底数确定时，则可由函数的单调性直接进行判断。

2、当底数不确定时，应对底数进行分类讨论

（二）同真数的比较大小, 常借助函数图象进行比较

（三）若底数、真数都不相同,

则常借助1、0等中间量进行比较