复习参考题全国优秀课堂实录

学习目标

1.构建知识网络.2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆.3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数.

1.知识网络

2.要点归纳

(1)分数指数幂

①a＝mnmn1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1). ②a＝1amn(a>0，m，n∈N*，且n>1). (2)根式的性质

n①(a)n＝a. n②当n为奇数时，an

＝a；

当n为偶数时，na，a≥0，a＝|a|＝

－a，a<0.n

(3)指数幂的运算性质

①ar·as＝ars(a>0，r，s∈R). ＋②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R). ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R). (4)指数式与对数式的互化式

logaN＝b⇔ab＝N(a>0，且a≠1，N>0). (5)对数的换底公式

logmNlogaN＝(a>0，且a≠1，m>0，且m≠1，N>0). logman推论：logambn＝logab(a>0，且a≠1，m，n>0，且m≠1，n≠1，b>0). m(6)对数的四则运算法则

若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

M②loga＝logaM－logaN；

N③logaMn＝nlogaM(n∈R).

类型一

指数、对数的运算

例1

化简：(1)329282323×233102÷10；

55解

原式＝210102

92＝2×103×10－152＝2×10＝－11210. 232log3(2)2log32－log3＋log38－255. 9322log3解

原式＝log34－log3＋log38－55

9

94××8－5log59

＝log332＝log39－9＝2－9＝－7. 反思与感悟

指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧. 43跟踪训练1

计算80.25×2＋(2×3)6＋log32×log2(log327)的值为________. 答案

111 解析

∵log32×log2(log327)＝log32×log23 lg 2lg 3＝×＝1，

lg 3lg 2∴原式＝2×2＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 类型二

数的大小比较

例2

比较下列各组数的大小：

(1)27,82；

解

∵82＝(23)2＝26，

由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27即82<27. (2)log20.4，log30.4，log40.4；

解

∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，

∴log0.44

111<<，

log0.42log0.43log0.44即log20.4

0<2<20＝1. 1log2log12＝1. 2211

11∴log2<23

数的大小比较常用方法：

(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法. (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较. (3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小. 跟踪训练2

比较下列各组数的大小：

(1)log0.22，log0.049；

lg 9lg 32解

∵log0.049＝＝

lg 0.04lg 0.222lg 3lg 3＝＝＝log0.23. 2lg 0.2lg 0.2又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，

∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049. (2)a1.2，a1.3；

解

∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数；当底数0

而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2

当0a1.3. (3)30.4,0.43，log0.43. 解

30.4>30＝1，

0<0.43<0.40＝1，

log0.43

∴log0.43<0.43<30.4. 类型三

指数函数、对数函数、幂函数的综合应用

命题角度1

函数性质及应用

例3

已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0. (1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围. 解

(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；

当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，

所以函数f(x)单调递减. (2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0. 3xa①当a<0，b>0时，>－，

22ba－；

解得x>log32b23xa②当a>0，b<0时，<－，

22ba－. 解得x

指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究. 跟踪训练3

已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0

(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值. 1－x>0，解

(1)要使函数有意义，则有

x＋3>0，

解得－3

∵－3

函数图象及应用

例4

如图，

－2121＝. 2

函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(

) A.{x|－1＜x≤0} B.{x|－1≤x≤1} C.{x|－1＜x≤1} D.{x|－1＜x≤2} 答案

C

解析

借助函数的图象求解该不等式. 令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图.

x＋y＝2，x＝1，由

得

y＝logx＋1，y＝1.2

∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1

指数函数、对数函数、幂函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换. 跟踪训练4

若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(

)

答案

B 解析

由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3x＝－1()x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－3x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称.显然不符.故选B.

2lglg a1001.化简为(

) 2＋lglg aA.1

B.2

C.3

答案

B 2lglg a1002lg100·lg a解析

＝

2＋lglg a2＋lglg a2[lg 100＋lglg a]＝＝2. 2＋lglg aD.0 2.在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是(

)

答案

D 解析

显然a>0且a≠1. 若01，只有B中y＝xa符合，但B中g(x)不符合. 1x3.函数f(x)＝2与函数g(x)＝log1|x|在区间(－∞,0)上的单调性为(

) 2A.都是增函数

B.都是减函数

C.f(x)是增函数，g(x)是减函数

D.f(x)是减函数，g(x)是增函数

答案

D 1x解析

f(x)＝2在x∈(－∞，0)上为减函数，g(x)＝log1|x|为偶函数，x∈(0，＋∞)时g(x)2＝log1x为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数. 2324.已知P＝22313，则P，Q，R的大小关系是(

) ，Q＝，R＝52B.Q＜R＜P

D.R＜Q＜P

A.P＜Q＜R

C.Q＜P＜R

答案

B 解析

由函数y＝x3在R上是增函数知，

23＜13，由函数y＝2x在R上是增函数知，

52132＞2－3＝2，所以P＞R＞Q. 325.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为(

) A.1

C.3

答案

B 1解析

函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝x图象的交点个数.21在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝x的图象(图略)，易知有2个交点. 2

1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题. 2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查. B.2 D.4 课时作业

一、选择题

11.函数f(x)＝＋4－x2的定义域为(

) lnx＋1A.[－2,0]∪(0,2]

C.[－2,2]

答案

B x＋1＞0，解析

由lnx＋1≠0，4－x2≥0，即x∈(－1,0)∪(0,2]. 2.已知x，y为正实数，则(

) A.2lg xB.2lg(x＋lg y＋y)B.(－1,0)∪(0,2] D.(－1,2]

得－1＜x≤2，且x≠0. ＝2lg x＋2lg y

＝2lg x·2lg y

lg yC.2lg x·＝2lg x＋2lg y

D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y

答案

D 解析

2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy).故选D. 1＋log22－x，x＜1，3.设函数f(x)＝x－1则f(－2)＋f(log212)等于(

) 2，x≥1，

A.3

B.6

C.9

D.12 答案

C 解析

因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，1－f(log212)＝2log212－1＝2log212×21＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C. 24.下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是(

) A.(－∞，1]

30，

C.2答案

D 解析

方法一

当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减.当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D. 方法二

f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图. 由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D. 4－1，

B.3D.[1,2)

5.已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是(

)

答案

C 1x－1－解析

因为f(x)是函数y＝log2x的反函数，所以f(x)＝2x，所以y＝f(1－x)＝21x＝2，其

1x函数图象可由函数y＝2的图象向右平移1个单位长度得到，故选C. 6.设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a＝flog21，3b＝flog31，c＝f(－2)，则a，b，c的大小关系是(

) 2B.b＞c＞a

D.c＞b＞a

A.a＞b＞c

C.c＞a＞b

答案

C 解析

因为1＝log22＜log23＜log22＝2,0＜log32＜log33＝1，所以0

所以flog32＜flog23＜f(2). 因为f(x)是偶函数，

所以a＝flog21＝flog323＝flog23，

b＝flog31＝flog232＝flog32，

c＝f(－2)＝f(2). 所以c＞a＞b. 二、填空题

7.若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________. 答案

1 解析

f(x)为偶函数，则ln(x＋a＋x2)为奇函数，

所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，

即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1. 48.已知a＝(a＞0)，则log2a＝________. 9312答案

4 244解析

∵a＝(a＞0)，∴log2a＝log2＝2，

9931213

1∴log2a＝2，∴log2a＝4. 2339.若函数y＝log1(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________. 2答案

(－8，－6] a≤－1，a≤－6，a26解析

令g(x)＝3x－ax＋5，其对称轴为直线x＝.依题意，有即

6a＞－8.g－1＞0，

10.若函数f(x)＝2|xa|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m－的最小值等于________. 答案

1 解析

∵f(1＋x)＝f(1－x)，

∴y＝f(x)关于直线x＝1对称，∴a＝1. ∴f(x)＝2|x1|在[1，＋∞)上单调递增. －∴[m，＋∞)⊆[1，＋∞). ∴m≥1，即m的最小值为1. 三、解答题

lg a2的值. 11.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，求lg(ab)·b解

∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，

1∴lg a＋lg b＝2，lg alg b＝，

2∴(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝4－2＝2，

2lg a2＝(lg a＋lg b)·∴lg(ab)·(lg a－lg b)

b＝2×2＝4. 12.已知函数f(x)＝2x2＋2x＋a(－2≤x≤2). (1)写出函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的最大值为64，求f(x)的最小值. 解

(1)令t＝x2＋2x＋a，则其对称轴x＝－1，

∴t＝x2＋2x＋a在[－2，－1]上单调递减，

在[－1,2]上单调递增，

又y＝2t在(－∞，＋∞)上单调递增，

∴f(x)的增区间为[－1,2]，减区间为[－2，－1]. (2)由(1)知f(x)max＝f(2)＝222＋2×2＋a＝28a. ＋∴28a＝64＝26，∴8＋a＝6，a＝－2，

＋

1－∴f(x)min＝f(－1)＝2(－1)2＋2×(－1)－2＝23＝. 813.已知常数a(a>1)和变量x，y之间的关系式是logax＋3logxa－logxy＝3，若x＝at

(t≠0)，且当t≥1时，y的最小值是8，求相应的x的值. 解

把x＝at代入logax＋3logxa－logxy＝3，

31得t＋－logay＝3. tt∴logay＝t2－3t＋3，

∴y＝at2－3t＋3. 又t≥1，a>1，故可令u＝t2－3t＋3，

33则当t＝时，u＝t2－3t＋3有最小值为，

24此时y也有最小值，即ymin＝a＝8，

343t此时x＝a＝a＝a4＝82＝64. 四、探究与拓展

14.如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logy＝x，y＝x，12322222x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，2则点D的坐标为________. 11答案

2，4

解析

由图象可知，点A(xA,2)在函数y＝log1x的图象上，所以2＝log221x，x＝AA2222212＝.点B(xB,2)在函数y＝x2的图象上，所以2＝x2B，xB＝4.点C(4，yC)在函数y＝x的22图象上，所以yC＝241＝. 2411又xD＝xA＝，yD＝yC＝，

2411所以点D的坐标为2，4. 415.已知函数f(x)＝xn－，且f(4)＝3. x(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；

(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；

(3)若对任意实数x1，x2∈[1,3]，有|f(x1)－f(x2)|≤t成立，求t的最小值. 解

(1)f(4)＝4n－1＝3，即4n＝4，∴n＝1. 4∴f(x)＝x－. x其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 44x－＝－f(x)，

又∵f(－x)＝－x＋＝－xx∴f(x)为奇函数. (2)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明如下：

任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，

44则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋

x1x24x1－x241＋＝x1－x2＋＝(x1－x2)x1x2. x1x2∵x1>x2>0，

4∴x1－x2>0,1＋>0. x1x2∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增. (3)依题意，得t≥|f(x1)－f(x2)|成立，

只要t≥|f(x1)－f(x2)|的最大值即可. ∵f(x)在区间[1,3]上单调递增. ∴|f(x1)－f(x2)|的最大值为

3－4－1－4＝14. |f(3)－f(1)|＝3314∴t≥. 314故t的最小值为. 3