信息技术应用 收集数据并建立函数模型教案教学设计导入设计

3.2.2

函数模型的应用实例第一课时

正定县第七中学

于会玲

教学目标

知识与技能：(1)通过实例“汽车的行驶规律”，理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力．

(2)通过“马尔萨斯的人口增长模型”，使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．

过程与方法：在实际问题的解决中，发展学生科学地提出问题、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系．

情感、态度与价值观：通过学习，体会数学在社会生活中的应用价值，培养学生的兴趣和探究素养．

重点、难点

教学重点：分段函数和指数型函数的应用．

教学难点：函数模型的体验与建立．

教学过程

导入新课

思路1．(情境导入) 在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们几乎占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．

与之相应，图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在有限制的环境中，种群数量一般符合对数增长模型．上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．

思路2.(直接导入) 上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．

推进新课

新知探究

提出问题台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活

动时间不少于15小时，也不超过40小时．

设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)．

(2)A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处的D地建一核电站，给A，B两城供电，为保证城市安全．核电站距城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域．

(3)分析以上实例属于那种函数模型．

讨论结果：(1)f(x)＝5x(15≤x≤40)；

90，15≤x≤30，g(x)＝

2(x－30)＋90，30

5(2)y＝5x2＋(100—x)2(10≤x≤90)．

2(3)分别属于一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型．

应用示例

例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图1所示．

图1 (1)求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数解析式，并作出相应的图象．

活动：学生先思考讨论，再回答．教师可根据实际情况，提示引导．

图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不同，汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函解：(1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360. 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.

80(t－1)＋2 054，1≤t<2，(2)根据图1，有s＝90(t－2)＋2 134，2≤t<3，75(t－3)＋2 224，3≤t<4，65(t－4)＋2 299，4≤t≤5.这个函数的图象如图2所示．

50t＋2 004，0≤t<1，

图2 变式训练

电信局为了满足客户不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如图3所示(其中MN∥CD)．

(1)分别求出方案A，B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；

(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A，B两种优惠方案的？并说明理由．[来源学科网]

图3

解：(1)两种优惠方案所对应的函数解析式：

0x100，0x500，20，50，g(x)＝g(x)3

f(x)3x－10，x100，x100，x500.10103(2)当f(x)＝g(x)时，x－10＝50，∴x＝200. 10∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；[来源学科网]

当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g(x)＞f(x)，故选择方案A；

当客户通话时间为x＞200分钟时，g(x)＜f(x)，故选方案B. 点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本题用到了分段函数，分段函数是刻画实际问题的重要模型. 数为分段函数．

(1)

我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球

例2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，

其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．

下表是1950～1959年我国的人口数据资料：

年份

人数/万人

1950

55 196

1951

56 300

1952

57 482

1953

58 796

1954

60 266

1955

61 456

1956

62 828

1957

64 563

1958

65 994

1959 67 207 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，r3，…，r9. 由55 196(1＋r1)＝56 300，可得1951年的人口增长率为r1≈0.020 0. 同理可得，r2≈0.021 0，r3≈0.022 9，r4≈0.025 0，r5≈0.019 7，r6≈0.022 3，r7≈0.027

6，r8≈0.022 2，r9≈0.018 4.[来源学科网]

于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为

r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022 1. 源学+科+网]

令y0＝55 196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55 196e0.022 1t，t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55 196e0.022 1t(t∈N)的图象(图4)．

[来

图4

由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．

(2)将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 1t，由计算器可得t≈38.76. 所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力. 变式训练

一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．

(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；

(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1.已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 解：(1)最初的质量为500 g. 经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91；

经过2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92；

由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.

(2)解方程500×0.9t＝250，则0.9t＝0.5，

lg 0.5－lg 2所以t＝＝≈6.6(年)，

lg 0.92lg 3－1即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.

课堂小结

：

本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数、方程、不等式之间的相互关系．

作业

：

课本习题3.2A组

5,6. 课后思考题：

某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品的生产方案：准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

家电名称

每台所需工时[来源学科网]空调

1

24

彩电

1

33

冰箱

1

42 每台产值(千元)

问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位) 解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，每周产值为f千元，

x＋y＋z＝360，111则f＝4x＋3y＋2z，其中2x＋3y＋4z＝120，x≥0，y≥0，z≥60，

①②③

x≥0，由①②可得y＝360－3x，z＝2x，代入③得360－3x≥0，2x≥60，

则有30≤x≤120. 故f＝4x＋3(360－3x)＋2·2x＝1 080－x，当x＝30时，fmax＝1 080－30＝1 050. 此时y＝360－3x＝270，z＝2x＝60. 答：每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元．