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集合中元素个数的探究及应用

河北

省赵县

中

学

席建彪

两个、三个集合的并集

中元素个数问

题，在解决社会实际问题中经常用到．如何求

两个、三个集合的并集中元素的个数?又如何

解答社会实际问题

中的相关问题

呢?这正是

我们所要探究的问题．

我们

把含

有有

限个

元

—

素的集合

叫做有限集，用

＼

／／／

card(A) 表示集合

中元素

图1 的

个

数

(card 是

英

文

cardicardal(基数) 的缩写

，有

的教材如记作

n(a))．例如：集合A = {a，b，C} 中有三个元

素，我们记作

card(A) = 3．

1

结论的探究与证明

探究一：两个有限集合的并集中元素个

数问题．

若

n B = ，显然有

card(A t．J B ) = card(A ) + card(B )；若

n B ≠西，利用维恩

图表

示如

图

1，card(A t．J B ) 与

card(A ) + card(B ) 相比，后者

比前者多了二者

的公共

部分(即card(A n B))，由此我们可得

结论

1：已知两个有限集合

，B ，有：

card(A t．J B ) = card(A ) + card(B ) 一card(A n B )．

探究二：三个集合的并集中元素的个数

问题．

为了便于说清楚

问题

，我们考虑

n B ≠

、C n B ≠

、A n C ≠

、A n B n C ≠

的情况，利用维恩图表示如图2，我们把图

中间四个区分别记为

I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ

并用

a ，b，

c，d 来分别表示

I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ

各区域构成的

集合

中元素的个数，card(A t．J B t．J C) 与

card(A ) + card(B ) + card(C ) 相

比，相对

card(A t．J B t．J C ) 来说

card(A ) + card(B ) + card(C ) 的数

目中多计

了

a ，c，d 一次

，b 两

次，由此建立等量关系式：

a = card(A f3 B ) 一

card(A f3 B f3 C ) ，

C = card(B f3 C 、

一

card(A n B n C ) ，

d = card(A f3 C ) 一

card(A n B n C )

图2

故

card(A t．J B t．J C ) = card(A ) + card(B ) + card(C) 一

[card(A n B ) 一card(A n B n C)] 一

[card(B f'l C) 一card(A n B n C)] 一

[card(A 1"3 C) 一card(A n B n C )] 一

2card(A n B n C ) 整理得，

card(A U B U C ) = card(A ) + card(B ) + card(C ) 一card(A f3 B ) 一card (A n C) 一

card(B f3 C ) + card(A f3 B f3 C )，由此我们

可得

结论2：已知三个有限集合

，B ，c，有

card(A t．J B t．J C ) = card(A ) + card(B ) + card (C ) 一card(A f3 B ) 一card(A n C ) 一

card(B f3 C ) + card (A n B n C )．

2

应用举例

例

1

学校先举办

了一次

田径运动会某班有

8 名同学参赛，又举办了一次球类运

动会，这个班有

12 名同学参赛，两次运动会

都参赛的有3 人，两次运动会中，这个班共有

多少名同学参赛? 分析

设

A 为田径运动会参赛的学生

的集合，B 为球类运动会参赛的学生的集合，

那么A n B 就是两次运动会都参赛的学生的

集合，card(A)，card(B )，card(A O B) 是已

知的，于是可以根据上面的公式求出

card(A U

)．

解

设A = {田径运动会参赛的学生}，

B = {球类运动会参赛的学生}，

A n B = {两次运动会都参赛的学生}，A u B = {所有参赛的学生} 因此

card(A U ) = card (A ) + card( ) 一card(A n B ) = 8 + l2 —3 = 17．

答：两次运动会中，这个班共有

17 名同

学参赛．

例

2

某校对

68 名学生去游览

A 、B 、C 三个公园的情况进行调查，统计结果如下：

(1)每个人至少去过A 、

、C 三个公园中

的一个

；

(2) 到过A 和

，

和C ，C 和A 两个公园

的人数分别为

25 人

，21 人

，19 人；

(3) 到过A 或

，

或

C ，C 或

A 公园的人

数分别为

60 人

，59 人

，56 人．

试问，这些学生到过

A 、

、C 公园的人数

分别各为多少?三个公园都到过的学生有多

少? 分析

本题是关于集合中元素个数公

式的运用的一个题

目，主要是考察学生对集

合中元素个数的理解与两个集合与它们交，

并这四个集合间的元素个数公式的运用．对

于第二问应该要从题

目各个条件的分析中找

到答案．具体解法如下：

解

设A = {去过A 公园游览的学生}；

B = {去过

公园游览的学生}；

C = {去过C 公园游览的学生}；A u B = {去

过A 或

公园游览的学生}；

u C = {去过

或

C 公园游览的学

生}；C u A = {去过C 或A 公园游览的学生} A u

u C ：{去过A ，或

或C 公园游

览的学生}；

A n B = {既去过

A 也去过

公园游览

的学生} n C = {既去过

也去过

C 公园游览

的学生l C n A = {既去过

C 也去过

A 公园游览

的学生

}

．

A n

n C = {三个公园都去游览过的

学生{ 由题意

card(A u B u C ) = 68 ；

card(A n B ) = 25 ；card(B O C ) ：21；

card(C n A ) = 19 ；card (A u B ) = 60 ，

card (B U C ) = 59 ，card(C U A ) ：56 ●

■

(1) 由公式

：card(A ) + card( ) = card(A O ) + card(A U ) card ( ) + card(C ) = card(B n C ) + card(B U C ) card(C ) + card(A ) = card(C n A ) + card (C U A ) 得：card(A) + card(B) = 85

①

card(B ) + card(C) = 80

②

card(C) + card(A) = 75

③

由①②③得

card(A) = 40，card(B ) = 45 ，card(C ) = 35．

(2) 由

公

式

card(A u B U C ) = card (A ) + card(B ) + card(C ) 一card(A n B ) 一card(A n c ) 一card(B n c ) + card(A

n

n C ) 得

68 = 40 + 4 5 + 35 — 25 — 2 l — l9 + card (A n B n C )，

所以，card(A n B n C ) = 13 (下转4 l 页) 维普资讯

http://www.cqvip.com 中学数学杂志(高中) 2007 年第

3 期

41 左=[ 6+ =_ ] 南

] + [A(¨

) 一

]

] + [A(c8 + ) 一

]

] ≥

—

2A (ab bc Ca ) b

≥

+

+ 一

(8 +

+ c ) i

±

! ±! 2

一—

2A(ab + bc + c8) 一p,(ab + bc + c8) 一2A 一

’

萁

中用

I熟知不等式f8 + b + c) ≥3fab + 6c + ∞) 和8 + b + c ≥ab + 6c + ∞．

这样的例子很多，只要对已知条件稍加

变形即可得到解决．

参考文献

[I]

徐彦明．分式型柯西不等式．数学通

报，2005 ，1．

[2]

田彦武．例谈一个不等式的应用．中学

教研(数学)，2001，12．

[3]

田彦武．用一不等式巧解一串竞赛题．

中学数学研究(江西)2002，11．

(上接

38 页) 答：学生到过

A、

、c 公园的人数分别为4O 人、45 人、35人，三个公园都到过的学生有

l3 人．

评析

I ．以上结论主要用于解决含有

交叉问题或特殊元素

(位置) 的应用性问题．

Ⅱ．以上结论可以推广到

T／,(T／

,≥4 ，T／

,∈

N ) 个有限集合的情况．

练习

：

1．在某外国语培训学校共

170 名学生

，

有

120 人学英语

，6O 人学俄语

，8O 人学

13 语

，

50 人既学英语又学

13 语

，25 人既学英语又学

俄语，3O 人既学

13 语又学俄语

，还有

lO 人同

时学

习这三种外国语

，请

问：有多少学生没有

学上述三门外语中的任何一种? 2．在全国高中数学联赛中第二试只有三

道题

目，已知

：

(I)某校有

25 个学生参加联赛，每个学

生至少解出一道题

目．

(2)在所有没有解出第一道题的学生

中，解出第二道题的人数是解出第三道题目

人数的

2 倍

；

(3) 只解出第一题的学生比余下的学生

中解出第一题

目的人数多

1个；

(4 ) 只解

出一道题的学生

中，有一半没

有解出第一题．

问共有多少学生只解出第二题? 答案与提示

：

I．提示

：如果分别用集合

A ，

，C 表示学

英语

，日语

，俄语

的人，则这里涉及

到三个集

合的元素个数，利用维恩图表示，如图

3 所

示，以下

由读者

自己完成．

答案

：该校没有学上述语言的有

5 人．

2．提示：利用图示法，如图4 ，设解出第

一

，

第二，第三道题的学生的集合分别为

A 、

、

C ，则重叠部分表示同时解

出两道题或三

道题的学生

的集合这样共得到

7 个部分

，其

人数分别用

8、6、c、d 、e

g 表

示，然后

由

已

知

，列方程组即可解得

b．

答案：只解出第二题的共有6 人．

图

3

图

4