习题2.1优秀教案案例

2.1. 2指数函数及其性质

一、教材分析

本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1.2指数函数及其性质的内容

二、三维目标

1．知识与技能

（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；

（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；

（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．

2．过程与方法

通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质. 3．情感、态度与价值观

（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；

（2）培养学生认识、接受新事物的能力

三、教学重点

教学重点：指数函数的的概念和性质．

四、教学难点

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质

五、教学策略

发现教学法

经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.

六、教学准备

回顾初中时的整数指数幂及运算性质，

anaaaa,a01(a0)七、教学环节

引入课题

1．

（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长

速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．

我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．

1

按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到○2000年的多少倍？

2

到2050年我国的人口将达到多少？

○3

你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？

○2．

上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？

3．

一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

4．

上面的几个函数有什么共同特征？

新课教学

（一）指数函数的概念

一般地，函数ya(a0,且a1)叫做指数函数（exponential function），其中x是自x变量，函数的定义域为R．

1

指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；

注意：○2

注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零○和1．

巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）

（二）指数函数的图象和性质

问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

探索研究：

1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：

1x31x（2）y()

2（1）y()

（3）y2x

（4）y3x

（5）y5x

x2．从画出的图象中你能发现函数y2的图象和函数y()的图象有什么关系？x可否利用y2的图象画出y()的图象？

12x12x3．从画出的图象（y2x、y3x和y5x）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？

4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？

图象特征

函数性质

a1

0a1

a1

函数的定义域为R 非奇非偶函数

函数的值域为R+

0a1

向x、y轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，

图象逐渐上升

在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 图象上升趋势是越来越陡

自左向右看，

a01

增函数

减函数

[来源学科网]图象逐渐下降

在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 图象上升趋势是越来越缓

x0,ax1

x0,ax1

x0,ax1

函数值开始增长较慢，到了某一值后x0,ax1

函数值开始减小极快，到了某一值后

增长速度极快；

5．

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

减小速度较慢；

（1）在[a，b]上，f(x)ax(a0且a1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；

（2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；

（3）对于指数函数f(x)ax(a0且a1)，总有f(1)a；

（4）当a1时，若x1x2，则f(x1)f(x2)；

（三）典型例题

例1．在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？

(1)y＝2x2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；

＋(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．

解

只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；

(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；6)中令b＝a－1，则y＝bx，b>0且b≠1，所以是．

例2

截止到1999年底，我们人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)? 解

设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，

1999年底，我国人口约为13亿；

经过1年(即2000年)人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)亿；

经过2年(即2001年)人口数为13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)2亿；

经过3年(即2002年)人口数为13(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3亿；

……

经过x年人口数为13(1＋1%)x亿；则y＝13(1＋1%)x. 当x＝20时，y＝13(1＋1%)20≈16(亿)．

答

经过20年后，我国人口数最多为16亿．

作业布置

x1．已知指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于(

)

1A.

B．2 21C．4

D.

4解析：∵指数函数在其定义域内是单调函数，

∴端点处取得最大、小值，

源:Z|xx|k.Com][来

∴a0＋a＝3，故a＝2. 答案：B 2．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有(

) A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y) C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y) ＋解析：f(x＋y)＝axy＝axay＝f(x)f(y)．故选C. 答案：C

3．某厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p%，此种规格电子元件年产量y随年数x变化的函数关系是____________________．

答案：y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m) 4．已知a，b＞1，f(x)＝ax，g(x)＝bx，当f(x1)＝g(x2)＝2时，

有x1＞x2，则a，b的大小关系是(

) A．a＝b

B．a＞b

C．a＜b

D．不能确定

解析：∵a＞1，b＞1，

由图示知b＞a. 答案：C

八、板书设计

第二章

基本初等函数（I）

2.1

指数函数

2.1. 2指数函数及其性质

九、教学反思

通过本堂课的学习，同学们能够独立完成相关习题。