小结公开课教案

第一章

1.3

函数的基本性质

1.3.2

奇偶性

第二课时

习题课

网络构建

规律小结

(1)判断函数单调性的步骤：

①任取x1，x2∈R，且x1

②作差：f(x1)－f(x2)；

③变形(通分、配方、因式分解)；

④判断差的符号，下结论．

(2)求函数单调性要先确定函数的定义域．

(3)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数．

(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原则．

(5)奇函数的性质：

①图象关于原点对称；

②在关于原点对称的区间上单调性相同；

③若在x＝0处有定义，则有f(0)＝0. (6)偶函数的性质：

①图象关于y轴对称；

②在关于原点对称的区间上单调性相反；

③f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

(7)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则在区间[－b，－a]上有最小值－M；若偶函数f(x)在[a，b]上有最大值m，则在区间[－b，－a]上也有最大值m. 一、函数单调性的应用

若函数f(x)＝2－x＋2ax－2a，x≥1，ax＋1，x＜1

是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(

) A．(－2,0)

C．(－∞，1] B．[－2,0) D．(－∞，0)

[解析]

由x≥1时，f(x)＝－x2＋2ax－2a是减函数，得a≤1；由x＜1时，函数f(x)＝ax＋1是减函数，得a＜0. 分段点x＝1处的值应满足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1，

解得a≥－2.所以－2≤a＜0. [答案]

B [规律总结]

在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函数的每一段上的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点——分段点处的

值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点x＝1，即需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．

2x＋1，x≥0，已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x)＞f(2x)的x的取值范围1，x＜0，

是________．

1[答案]

(－∞，3)

2x＋1，x≥0[解析]

画出函数f(x)＝的图象，如答图所示．

1，x＜0

1－x＞0，1－x＞2x，1由f(1－x)＞f(2x)，得或解得x＜0或0≤x＜3.所2x＜02x≥0，1以所求x的取值范围为(－∞，3)．

二、奇偶性的应用

(2015·江苏启东中学上学期期中)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋1，若f(a)＝3，则实数a的值为________．

[分析]

利用偶函数的对称性，先求a＞0时，a值再求a＜0时a值．

[解析]

当a≥0时，由f(a)＝a2＋1＝3，得a＝2.又由函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，根据对称性知，当a＜0时，由f(a)＝3应有a＝－2，所以实数a的值为±2. [答案]

±2

(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. [答案]

0 [分析]

逆用偶函数的定义求a. [解析]

显然x∈R，由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，

即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，即|x＋a|＝|x－a|，

又x∈R，所以a＝0.

三、奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上的单调性

已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数还是减函数？

探究1.若本例中的偶函数改为奇函数单调性如何？你会证明吗？

[分析]

由函数的奇偶性进行转化．

[解析]

设a≤x1＜x2≤b，则－b≤－x2＜－x1≤－a.∵f(x)在[－b，－a]上是增函数．∴f(－x2)＜f(－x1) 又f(x)是偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2) 于是

f(x2)＜f(x1)，故f(x)在[a，b]上是减函数．

[点评]

由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的．

[规律总结]

函数的单调性与奇偶性的关系

(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．

(2)奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等．

(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f(－5)与f(3)的大小．

(2)如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[－6，－1]上的最大值和最小值．

[解析]

(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－5)＝f(5)，

∵f(x)在[2,6]上是减函数，

∴f(5)

(2)设－6≤x1

∵f(x)在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4，∴4＝f(1)≤f(－x2)

又∵f(x)为奇函数，∴4≤－f(x2)<－f(x1)≤10，

∴－10≤f(x1)

即f(x)在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4. 四、函数性质的综合应用

(2015·河南淇县一中月考试题)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是(

) A．(－∞，2)

B．(－2,2) C．(2，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

[解析]

由题意知f(－2)＝f(2)＝0，

当x∈(－2,0)时，f(x)

[答案]

B

[规律总结]

可用数形结合法求解．由题意画出示意图如图所示可知选B.

已知奇函数f(x)定义在(－1,1)上，且对任意x1，x2∈(－fx2－fx11,1)(x1≠x2)都有＜0成立，若f(2x－1)＋f(x－1)＞0成立，则x的取值x2－x1范围是(

) 2A．(3，1) C．(0,1) B．(0,2) 2D．(0，3) fx2－fx1[解析]

由＜0知f(x)是减函数，因此f(2x－1)＞－f(x－1) x2－x1即f(2x－1)＞f(1－x)所以

－1＜2x－1＜1－1＜1－x＜12x－1＜1－x

2解得0＜x＜3，故选D. 函数f(x)的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2. (1)证明f(x)是奇函数；

(2)证明f(x)在R上是减函数；

(3)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．

[分析]

给出函数关系而未给出解析式，要证明函数的奇偶性与单调性，关键是紧紧扣住条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，对其中的x，y不断赋值．

[解析]

(1)令y＝－x，得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，

∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．

又∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(2)任取x1，x2∈R，且x1

则f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)] ＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)] ＝－f(x2－x1)．

∵x10，

又∵当x>0 时，f(x)<0，

∴f(x2－x1)<0，

∴－f(x2－x1)>0，即f(x1)>f(x2)，

从而f(x)在R上是减函数．

(3)∵f(x)在R上是减函数．

∴f(x)在[－3,3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)．

f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×(－2)＝－6，

∴f(－3)＝－f(3)＝6. 从而f(x)在区间[－3,3]上的最大值是6，最小值是－6. [规律总结]

对抽象函数的奇偶性与单调性的证明，围绕证明奇偶性与单调性所需要的关系式，对所给的函数关系式赋值．

函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

[解析]

(1)令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.

(2)f(x)为偶函数．

证明：令x1＝x2＝－1，则f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，则f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.又f(3x＋1)≤3，即f(3x＋1)≤f(64)．

∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数且f(x)是偶函数，

3x＋1>0，3x＋1<0，∴或

3x＋1≤64－3x＋1≤64.1651解得－3＜x≤21或－3≤x＜－3，

6511∴x的取值范围为{x|－3≤x＜－3或－3＜x≤21}．

五、练习

1．如果偶函数在[－2，－1]上有最大值，那么该函数在[1,2]上(

) A．有最大值

B．有最小值

C．没有最大值

D．没有最小值

[答案]

A [解析]

偶函数图象关于y轴对称，如果在[－2，－1]上有最大值，那么该函数在[1,2]上也有最大值．

2．函数f(x)在区间(－4,7)上是增函数，则使得y＝f(x－3)为增函数的区间为(

) A．(－2,3) B．(－1,7) C．(－1,10) D．(－10，－4) [答案]

C [解析]

y＝f(x－3)的图象可以由f(x)的图象向右平移8个单位得到，故其在(－1,10)上一定为增函数．

3．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，35则f(－2)与f(a2＋2a＋2)的大小关系是(

) 35A．f(－2)＞f(a2＋2a＋2) 5＋2) 3B．f(－2)＜f(a2＋2a

352C．f(－2)≥f(a＋2a＋2) 5＋2)

[C

3D．f(－2)≤f(a2＋2a答案]

5332[解析]

a＋2a＋＝(a＋1)＋≥，因为f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是2222335减函数，所以f(－2)＝f(2)≥f(a2＋2a＋2)．

4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，给出下列命题：

①f(0)＝0；

②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0)上有最大值1；

③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；

④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x. 其中正确结论的序号是：________. [答案]

①②④

[解析]

根据奇函数的定义与性质一一验证即可．

5．已知函数f(x)＝x2＋4x＋3. (1)若g(x)＝f(x)＋bx为偶函数，求b；

(2)求函数f(x)在[－3,3]上的最大值．

[解析]

(1)g(x)＝f(x)＋bx＝x2＋(b＋4)x＋3，

g(－x)＝x2－(b＋4)x＋3，∵g(x)＝g(－x)，

∴b＋4＝0，∴b＝－4. (2)f(x)＝x2＋4x＋3关于直线x＝－2对称，

因此f(x)在x＝－2取得最小值－1，在x＝3取得最大值24.