小结第二课时教案

本章复习

整体设计

教学分析

前面学习了函数与方程、函数模型及应用等内容，通过本节学习进一步巩固前面学习的内容，突出重点总结规律，使原来的知识更系统，使原来方法更清晰，形成完整的知识结构和方法体系. 我们小结的目的不仅要总结知识、归纳方法，还要让学生学会运用学过的知识方法解决现实问题，提高学生的素质. 三维目标

1.理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点. 2.巩固常见函数模型的应用. 3.通过本章学习逐步认识数学，学会用数学方法认识世界、改造世界. 重点难点

应用数学模型解决实际问题. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(情景导入) 同样一张书桌有的整洁、有的凌乱，同样一支球队，在不同教练带领下战斗力会有很大不同，例如达拉斯小牛队在“小将军”约翰逊的带领下攻防具佳所向披靡,为什么呢?因为书桌需要不断整理，球队需要系统的训练、清晰的战术、完整的攻防体系.我们学习也是一样，需要不断归纳整理、系统总结，今天我们把第三章函数的应用进行归纳复习. 思路2.(直接事例导入) 大到天体运动小到细菌繁殖，无论政治现象还是经济现象，在这繁杂的世界上无不变化，怎样描述这些变化呢？我们知道可以通过函数模型来描述这些变化，本节我们来归纳复习一下函数的应用. 推进新课

新知探究

提出问题

回忆本章内容,总结本章知识结构. 讨论结果：

本章知识结构

应用示例

例1已知函数f(x)=x-1+12x-2，试利用基本初等函数的图象判断f(x)有几个零点；并利用零2点存在性法则确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1).

图3-1 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：把一个不易作出的函数图象转化为两个容易作出的图象. 解：由f(x)＝0，得x-1=121x+2,令y1=x-1,y2=x2+2,其中抛物线顶点为(0，2)，与x轴交22于点(－2，0)、(2，0). 如图所示（图31），y1与y2图象有3个交点，从而函数f(x)有3个零点. 由f(x)知x≠0，f(x)图象在(－∞,0)、(0，＋∞)上分别是连续不断的，

1311111>0，f(-2)=<0，f()=>0,f(1)=<0,f(2)=>0, 6282221即f(－3)·f(－2)<0，f()·f(1)<0，f(1)·f(2)<0，

21∴三个零点分别在区间(－3,－2)、(，1)、(1，2)内. 2且f(-3)=点评：本题考查数形结合思想和零点判断方法. 例2设函数f(x)=x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的. 先求值：f(0)＝________，f(1)＝________,f(2)＝________,f(3)＝________. 所以f(x)在区间________内存在零点x0，填下表，

区

间

中点m

f(m)符号

区间长度

下结论：___________________________________. 可参考条件：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(1.125)<0，f(1.187 5)>0. 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：

利用二分法求方程近似解一般步骤求函数的零点. 解：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31, ∴初始区间为(1，2). 区

间

(1，2) (1,1.5) 中点mf 1.5 (1.25) (m)符号

+ + 区间长度

0.5

(1,1.25) (1.125,1.25) (1.125,1.1875) 1.125 1.1875

- +

0.25 0.125 0.0625 ∵|1.1875-1.125|=0.062 5<0.1,∴x0≈1.125(不唯一)．

点评：这种题型便于学生操作，是一种新考法，应特别重视. 知能训练

某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）. 解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y. 经过1年，剩留量y=1×84%=0.841; 经过2年，剩留量y=1×84%×84%=0.842; ……

一般地，经过x年，剩留量y=0.84x, 根据这个函数关系式可以列表如下：

x y 0 1 1 0.84 2 0.71 3 0.59 4 0.50 5 0.42 6 0.35 用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.

答：约经过4年，剩留量是原来的一半. 拓展提升

请同学们思考探究：函数模型的应用，并进行规律总结. 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导. 答案：(供参考) 数学模型及其应用

数学来源于实际又服务于实际，如何运用数学知识解决生活中的实际应用问题？这里的关键是“问题情景的数学化”,即从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．

1.数学应用题大致可以分为以下四种不同的类型：

（1）直接套用现成的公式；

（2）利用现成的数学模型对应用题进行定量分析；

（3）对于已经经过提炼加工后，各因素之间数量关系比较清楚的实际问题，建立数学模型；

（4）对原始的实际问题进行分析加工，建立数学模型．

2.解应用题的策略：

一般思路可表示如下：

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

③解模：求解数学模型，得出数学结论；

④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

规律总结

1.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．

2.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．

3.对于建立的各种数学模型，要能够进行模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．

课堂小结

1.复习巩固;2.规律总结;3.思想升华. 作业

课本P112复习参考题任选两题. 设计感想

本节通过一个学生感兴趣的话题使学生认识到小结的重要性,然后通过最新模拟题再现了本章重点题型.本节不仅总结了有关用数学模型解决实际问题的解题规律,而且给出了本章知识结构图,使本章的知识更加系统,脉络更加清晰,使学生的认识水平和解题能力进一步升华,决不是前面知识的简单重复,因此达到了小结的目的. 习题详解

(课本第112页复习参考题) A组

1.C 2.C 200100t,0t2,3.设经过时间t后列车离C地的距离为y，则y=

100t200,2t5.

图3-2 4.(1)圆柱形; (2)上底小、下底大的圆台形; (3)上底大、下底小的圆台形; (4)呈下大上小的两节圆柱形. 图略.

图3-3 5.令f(x)=2x3-4x2-3x+1,函数图象如右所示: 函数分别在区间(-1,0)、(0,1)和区间(2,3)内各有一个零点,所以方程2x3-4x2-3x+1=0的最大的

根应在区间(2,3)内. 取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)=-0.25.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3). 再取(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈4.09.

因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75). 同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.5,2.5625),x0∈(2.5,2.53125),x0∈(2.515625,2.53125),x0∈

(2.515625,2.5234375). 由于|2.523 437 5-2.515 625|=0.007 812 5<0.01, 所以原方程的最大根约为2.523 437 5. 6.令lgx=111,即得方程lgx=0,再令g(x)=lgx,用二分法求得交点的横坐标约为2.5. xxx

图3-4 7.如图,作DE⊥AB,垂足为E.由已知可得∠ADB=90°. 因为AD=x,AB=4,于是AD2=AE×AB, AD2x2即AE==. AB4x2x2所以CD=AB-2AE=4-2×=4. 42x2x2于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4+x=+2x+8. 22x2x2由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x>0,>0,4>0,解得01,所以eλ>1,即0<又N0是正常数,所以N=N0((2)N=N0e-λt,因为e-λt=1t)是在于t的减函数. e1NNN,所以-λt=ln,即t=ln. N0N0N0(3)当N=N01N01时,t==ln2. 2N02

9.因为f(1)=-3+12+8=17>0,f(2)=-3×8+12×2+8=8>0,f(3)<0, 所以,下次生产应在两个月后开始. B组

1.厂商希望的是甲曲线;客户希望的是乙曲线. 320t1,t,232.函数的解析式为y=f(t)=(t2)23,1t2,

2t2.3,函数的图象为

图3-5 备课资料

［备选例题］

【例】对于函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点. （1）当a=2,b=-2时，求f(x)的不动点；

（2）若对于任何实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围. 解：(1)f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),

当a=2,b=-2时,f(x)=2x2-x-4, 设x为其不动点,即2x2-x-4=x，则2x2-2x-4=0,解得x1=-1,x2=2, 即f(x)的不动点为-1,2．

(2)由f(x)=x,得ax2+bx+b-2=0.关于x的方程有相异实根,则b2-4a(b-2)>0, 即b2-4ab+8a>0. 又对所有的b∈R,b2-4ab+8a>0恒成立, 故有(4a)2-4·8a<0,得0