小结教案设计（一等奖）

§1.3.1函数的单调性

长治市第十九中学校

人教A版

必修1 高一年级数学教师：桑玉平

教学目的：

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．

教学重点：函数的单调性及其几何意义．

教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程：

一、

引入课题

1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

1

随x的增大，y的值有什么变化？

○

1 y 1 -1 -1 1 x -1 y 1 1 -1 x -1 y 1 1 -1 y 1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x x -1

2

能否看出函数的最大、最小值？

○3

函数图象是否具有某种对称性？

○2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1、f(x) = x

1

从左至右图象上升还是下降 ______? ○2

在区间 _____ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．

○y 1 x 2、f(x) = -2x+1

1

从左至右图象上升还是下降 ______? -1 1 ○-1 2

在区间 _______ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 _____ ．

○3、f(x) = x2

1在区间 ________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

○2

在区间 _______ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

○二、新教学课

（一）函数单调性定义

1、增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意：

1

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局○

2

部性质；

2

必须是对于区间D内的任意两个自变量x，x；当x

2、函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3、判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1

任取x，x∈D，且x

○

○2

作差f(x)－f(x)；

3

变形（通常是因式分解和配方）；

○4

定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）；

○ ○5

下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

12121212三、例题讲解：

例1、

如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

3

例2：物理学中的玻意耳定律pk（k为正常数），告诉我们对于一V定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.

例3、写出f(x)=|x|的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点

解：递减区间是,0，递增区间是0,，对称轴是y轴，函数在对称轴两侧的单调性相反。

四、巩固练习：

2x1.在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （） A、y=2x-1; B、y=3x2-1; C、y=; D、y=2x2+x+1; 2、设函数f(x)是（-∞，+∞）上的减函数，若a∈R, 则 () A、f(a)>f(2a); B、f(a2)

x

4

6已知在yf(x)区间A上为增函数，且恒有y0，求证函数y区间A上是减函数。

五、小结：

判断单调性的步骤：

1、设x1、x2∈给定区间，且x1

3、判断差的符号→下结论。

1f(x)在

5