信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学教案设计

《椭圆及其标准方程》教学案例

新乐市第二中学 李春艳

案例概述：

椭圆是一个非常重要的几何模型，具有很多优美的几何性质，这些重要的几何性质在日常生活，社会生产及其他学科中都有着广泛的应用，因此我设计了《椭圆及其标准方程》教学案例。这个课题的重点是标准方程，难点是标准方程的推导，由于推导比较麻烦会占用较多时间，因此很多教师在处理上重视重点而忽视难点，然而这个推导，它的意义不仅仅在推出椭圆的标准方程上，它还是体现了一种思想一种方法，因此忽视推导，学生的学习效果会打折扣，我希望通过研究来实现有效的课堂教学。

一

、 教材的地位和作用

《椭圆及其标准方程》位于高中数学教材第二册第8章第1节，共3课时，本节内容为第一课时。前面学生已经学习了直线和圆的方程以及求曲线方程的的方法，这些都是学习本节内容的基础，同时本节内容又是圆锥曲线的第一节，又是以后学习双曲线和抛物线的基础，因此，具有承前启后的作用。

二、学情分析

高二的学生正处在身心发展的鼎盛时期，思维活跃勇于探索，初步具备了的用旧知识解决新问题的能力。但由于普通中学的学生基础较差，驾御知识的能力比较薄弱。因此，在教学过程中教师必须进行细致的启发和引导，从而激发学生的学习兴趣，充分发挥其主观能动性，才能达到预期的教学目的.。

三、教学目标

知识目标:初步掌握椭圆的定义，理解椭圆标准方程的推导过程，掌握标准方程。

能力目标:巩固求曲线方程的步骤与方法，进一步熟练用代数法研究曲线的性质，进一步培养学生化归意识和转化的能力

情感目标:在和谐的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情景。

四、重点难点

重点：椭圆的定义及其标准方程的求解，并且在指导学生的过程中抓住数形结合的思想。

难点：椭圆定义的理解，标准方程的推导。

五、教法设计与学法指导

教法设计：通过设问、启发、课堂训练的教学程序，采用引导发现、探索讨论、老师点评的授课方式，培养学生的学习能力和分析与解决问题的能力，借助幻灯片，几何画板辅助教学，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导：本节的学习要注意对椭圆定义的理解，要把握好“和为定值”与“大于F1F2”的要求，注意两种标准方程与曲线的对应关系，在求解过程中要注意焦点的位置，注意a,b,c之间的关系

六、教学过程：

教学

环节

教师活动

演示图片：

（1）

油罐车的横截面的轮廓线

（2）

宇宙飞船的飞行轨道

设问：实例图片中共同的几何图形是什么？

引导学生：

从熟悉的曲线

开始研究，引

导学生类比圆

和椭圆。

实验操作：

将一根无弹性的细绳的两端用图钉固定在纸板上，

用笔尖将绳拉紧，并沿细绳运动，所得的图形上的点满足什么条件？如果调整两图钉之间的相对位置，所得图形有何变化？ 探讨研究，共同得出结论：

1、当2a>2c时，轨迹是椭圆

2、当2a=2c时，轨迹是以F1F2为端点的线段

3、当2a<2c时，无轨迹

归纳定义：

通过以上实验操作，尝试让学生归纳椭圆的定义，并且共同探讨完善定义中的不足之处。学生在归纳定义时容易出错的细节：

“平面内”、“距离之和”、“常数大于两定点间距离”

教师引导：

求曲线方程的步骤是什么？

学生回答：

（1）

适当建立坐标系

（2）

设曲线上任意动点P(x，y) （3）

找出动点满足的几何条件，根据条件列出方程

（4）

化简方程

点拨提示：

建系一般应遵循简洁、优化的原则，使点的坐标、几何量的表达式简单化，充分利用图形的对称性，使学生发现最佳的设计意图、

学生活动

创

设

情

境

通过对教材的再创通过观察图片思考造，为学生提供尽可能丰教师提出的问题

富的知识背景，使学生经历数学知识发生发展的过程，使学生了解数学来源于实际。从而使新课的引入自然生动、易于接受。

通过类比有利于学生由圆的定义自然过度到椭圆的定义，从而能深刻地把握概念的本质。

引导学生实验操作，把实际问题抽象成数学模型，是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要手段。

通过实验操作演示，由学生自行总结椭圆的定义并完善，有助于正确概念的形成和对概念的深入理解。

数学知识不能简单机械地从教师迁移到学生。通过实验操作将抽象的问题具体化，有利用调动学生的学习兴趣和积极性，也就是说学生不只是模仿和接受教师的思路和结论，他们要用自己现有的知识经验去同化新知识、解释新信息。

认真观察教师的演示实验，并在教师的提示下思考并讨论以下问题：

1. 圆的几何意义，椭圆上的每个点所具有的共同特征。

2. 通过类比圆的定义，归纳出椭圆的定义。

引

入

新

课

知

识

探

究

利用求动点轨迹的一般方法求出椭圆的轨迹方程。

可能出现的问题：

1．坐标系未建立。

2．动点坐标设立不恰当。

3．计算有错误。

建系方法。

推导标准方程：（学生讲述，教师板书）

解：建立如图所示的直角坐标系得：学生在教师的指导(焦点在x轴上) 下，在不断探索、想象和交流的过程中，充分感受设F1F2=2c，P点的坐标P(x，y)，定成功和失败的情感体验。长为2a则焦点的坐标是F1(-c，0) F2(c，在不断的发现问题和解决0) 问题中，加深对知识的领悟和理解。

动点P满足PF1+PF2=2a

(xc)2y2+(xc)2y2=2a 化简为：

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

为使方程简单、对称，引入b=a-c

（由教师提出）

从而得到椭圆的标准方程：

222x2y2+=1 （a>b>0）

a2b2教师引导学生去发现a、b、c之间的几何意义。

焦点在y轴上的椭圆标准方程由学生类比得出

归

纳

总

结

（1）

椭圆的定义

（2）

2a与2c在三种不同情况下的轨迹情况

（3）

椭圆的两种标准方程

（4）

椭圆的三个参数的大小关系、几何意义

对所学知识进行即时回顾和总结，有利于学生充分掌握知识，为应用知识奠定基础。

1．通过对椭圆的标准方程的推导，222讨论a，b，c之间的关系。

2．探索椭圆标2准方程与之 a间的关系。

（学生讨论完成）

例

题

分

析

x2y21重在检查学生对椭圆中的例1：（1）已知椭圆方程是2516基本概念的掌握情况，为则a= b= C= ，焦点在 轴上，其焦点坐标是 焦距为 。

（2）a=4，c=3，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 。

例1的（1）（2）两题x2y21上一点P（3）如果椭圆10036到左焦点的距离是6则P到其右焦点的距离等于 ，若CD是过左焦点F1的弦，则三角形CF1 F2的周长为 ，下节课研究椭圆的几何性质奠定基础。而（3）题则考察学生对椭圆定义的理解和简单的应用能力。

例2重在检查学生对不同条件下椭圆标准方程的求解，可以培养学生灵活运用知识的能力

三角形CDF2的周长为 。

例2 求适合下列条件的椭圆标准方例3重在检查学生对程

求曲线方程的四个步骤，1、a+b=10，c=4 （课本练习）

在培养学生灵活运用知识2、两个焦点的坐标分别是（0，-2）、的同时训练学生的思维能力。强调轨迹和轨迹方程35（0，2）且椭圆经过点（,）（课本练习）

的区别。

22例3 解答题

已知B、C是两个定点，且B、C之间的长为6，三角形ABC的周长是16，求顶点

A的轨迹和轨迹方程。

学生交流：（教师安排交流的项目）

（1）

这节课学习的主要内容是什么？

（2）

本节课揭示了什么数学思想？

（3）

求椭圆的方程注意的事项

帮助学生理顺思维过程，引导学生对知识进行回顾总结，掌握好数形结合、类比的数学思想。

完成课堂练习，加深对知识的理解。（学生独立完成）

课

堂

小

结

思考并小组讨论教师所提出的问题。

作

必做题：P96习题的2、3、4、5题

业

选做题：推导焦点在y轴上的椭圆的布

标准方程。

置

作业的布置应有弹性，避免一刀切。使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。

教后反思 ： 1 、将教学科研融入教学中，改变学生的学习方式 在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。

2 、渗透教学思想方法重在平时 当学生有一天不再学习数学了，我们给学生留下的是什么？我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式和解决问题的方法。本节课始终是引导学生观察图形后研究方程，即数形结合的思想。华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”因此在平时教学中，要注意渗透数学思想方法的教学。 不足：在对具体例子

的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。 感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。面对新课改教师惟有主动适应，才能创造新生。