2.2.1 函数的单调性ppt配套的教案及板书设计

函数的单调性

●三维目标

1．知识与技能

(1)使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；

(2)初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．过程与方法

(1)培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；

(2)感悟数形结合、分类讨论的数学思想．

3．情感、态度与价值观

领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣．

●重点难点

重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性．

难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图象证明单调性．

(1)重点的突破：以学生们熟悉的函数(一次函数、二次函数)为切入点，从直观入手，顺应学生的认知规律，让学生对图象的上升和下降有一个初步感性认识，在此基础上，教师通过启发式提问，层层分解函数单调性的定义中所涉及到的关键词(如：区间内，任意，当x1

(2)难点的解决：首先让学生明确用函数图象判断函数单调性是最直观的一种方式，在此基础上通过实例提出问题：函数图象不能作出时，应如何处理函数单调性，通过分组讨论，让学生明确用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究，从研究函数图象过渡到研究函数的解析式．最后师生共同总结利用定义证明函数单调性的基本步骤：设值，作差，变形，断号，定论．

1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义．(重点) 课标解读

2．掌握定义法判断函数单调性的步骤．(重点) 3．掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)．(难点)

1

【问题导思】

如图，观察函数y＝x的图象，回答下列问题：

1．当x>0时，函数值y随自变量x的增大而发生什么变化？

【提示】

增大．

2．如果在y轴右侧部分任取两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1

【提示】

y11. 3．如何用数学符号语言来描述y轴右侧的图象变化规律？

【提示】

在区间(0，＋∞)上，任取两个x1，x2，得到f(x1)＝x1，f(x2)＝x2，当x1

22222

条件

设函数f(x)的定义域为I，定义域I结论

内某个区间D上的任意两个自变量x1，

x2

增函数

减函数

当x1f(x2)

f(x)在区间D上是增函数

f(x)在区间D上是减函数

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

例1.

求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上是增函数还是减函数．

12(1)y＝3x－2；(2)y＝－；(3)y＝－x＋2x＋3. x【思路探究】

画出函数的草图―→结合图象“升降给出单调区间

【自主解答】

(1)函数y＝3x－2的单调区间为R，其在R上是增函数．

1(2)函数y＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)及(0，＋∞)上均x为增函数．

(3)函数y＝－x＋2x＋3的对称轴为x＝1，并且开口向下，其单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为(1，＋∞)，其在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．

2

2

规律方法

1．本题中求函数单调区间的方法是图象法，除这种方法外，求单调区间时还可以使用定义法，也就是由增、减函数的定义求单调区间．求出单调区间后，若单调区间不唯一，中间用“，”隔开，如本题第(2)小题．

2．一、二次函数及反比例函数的单调性：

(1)一次函数y＝kx＋b的单调性由参数k决定：当k＞0时，该函数在R上是增函数；当k＜0时，该函数在R上为减函数．

(2)反比例函数y＝(k≠0)的单调性如下表所示：

kxk的符号

k＞0

k＜0

2单调区间

在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减

在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增

(3)二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的单调性以对称轴方程x＝－为分界线．

2ab

a＜0

在－∞，－上单调递增，在－，＋∞上单调递减

2a2abba＞0

在－∞，－上单调递减，在－，＋∞上单调递增

2a2abb变式训练

如图1－3－1是定义在区间[－4,7]上的函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．

图1－3－1 【解析】

由图可知，函数y＝f(x)的图象在[－4，－1.5]及[3,5)，[6,7]上具有下降趋势．在[－1.5,3]及[5,6)上具有上升趋势，故函数f(x)的单调增区间是[－1.5,3]及[5,6)；单调减区间是[－4，－1.5)，[3,5)及[6,7]．

【答案】

[－1.5,3)，[5,6) [－4，－1.5)，[3,5)，[6,7] 9例2 判断函数f(x)＝x＋在x∈[3，＋∞)上的单调性并用定义证明．

x3

【思路探究】

取值→作差→变形→判号→定论

9【自主解答】

函数f(x)＝x＋在[3，＋∞)上是增函数．

x任取x1，x2∈[3，＋∞)，且x1

f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1x299（x1－x2）（x1x2－9）

x1x2又x10，

∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)

9即f(x)＝x＋在[3，＋∞]上为增函数．

x规律方法

1．定义法判断函数单调性的四个步骤

2．除定义法外，在判断或证明函数的单调性时还经常运用图象法．就是作出函数图象，由图象上升或下降，判断出单调性．

变式训练

9判断函数f(x)＝x＋在(0,3)上的单调性．

x【解】

任取x1，x2∈(0,3)，且x1

f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1x299（x1－x2）（x1x2－9）. x1x2又∵0

9∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)＝x＋在(0,3)上为减函数．

x例3 已知函数f(x)＝kx－4x－8在[5,20]上是单调函数，求实数k的取值范围．

【思路探究】

首先对二次项系数k是否为零进行分类讨论，然后利用数形结合思想方法进行解答．

【自主解答】

当k＝0时，f(x)＝－4x－8，其在[5,20]上是单调减函数，

所以k＝0符合题意．

24

22当k≠0时函数f(x)＝kx－4x－8对称轴为x＝，有两种情况：

k2221①k>0时，要使f(x)在[5,20]上单调，必有5≥或20≤，即k≥或0

k12综上可知，实数k的取值范围是kk≤或k≥105



规律方法

由函数的单调性求参数取值范围的两种方法

(1)利用单调性的定义

例如，由f(x1)>f(x2)结合单调性，转化为x1与x2的大小关系．

(2)利用函数的特征

例如，二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的取值范围．

变式训练

已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(4a－3)>f(5＋6a)，则实数a的取值范围是________．

【解析】

由题意得，4a－3>5＋6a，即a<－4. 【答案】

(－∞，－4) 因混淆“单调区间”和“区间上单调”两个概念致误

典例

若函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋4的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．

【错解】

函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3. 【错因分析】

错解中把单调区间误认为是在区间上单调．

【防范措施】

单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．

【正解】

因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x＝1－2a，所以有1－a＝4，即a＝－3. 【答案】

a＝－3 课堂小结

1．定义单调性时应强调x1，x2，在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个5

函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．

2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、判号、定论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．

3．已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)

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