2.3 映射的概念教案教学设计

2.3

映射的概念

1．了解映射的概念及表示方法．(重点) 2．会判断一个对应是否为映射．(难点)

[基础·初探] 教材整理

映射的概念

阅读教材P46至P47“思考”，完成下列问题．

1．映射

一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记为f ：A→B. 2．映射与函数的关系

由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A，B为两个非空数集．

1．判断(正确的打“√”

，错误的打“×”) (1)若f 是集合A到集合B的一个映射，则A中每个元素在B中都有象，且象是唯一的．(

) (2)映射不一定是函数，但函数一定是映射．(

) (3)映射无方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是相同的．(

) (4)已知f 是A到B的一个映射，其中A中含2个元素，B中含3个元素，则这样的映射共有8个．(

) 【解析】

(1)符合映射的定义，正确．

1

(2)函数是特殊的映射，正确．

(3)映射有方向性，从A到B的映射与从B到A建立的映射不同．

(4)从A到B可以建立32＝9个映射．

【答案】

(1)√

(2)√

(3)×

(4)×

2．下图给出的四个对应中是从A到B的映射的是________．(填序号)

【解析】

①不是映射，因为元素2在B中没有元素与之对应；

②是映射，满足单值对应；

③不是映射，因为元素3在B中有两个元素与之对应；

④是映射，满足单值对应．

【答案】

②④

[小组合作型]

映射的判定

(1)在如图所示的对应中是A到B的映射的是________．(填序号)

2

(2)在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？

①A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}，对应法则f ：“加1”；

②A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f ：“求平方根”；

③A＝N，B＝N，对应法则f ：“3倍”；

④A＝R，B＝{正实数}，对应法则f ：“求平方的倒数”；

⑤A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应法则f ：A中的元素对应它的内接矩形．

【精彩点拨】

紧扣映射的定义进行判断，看A中元素是否均有对应元素且对应形式是多对一或一对一．

【自主解答】

(1)结合映射的定义，对于①②，集合A的元素在集合B中有的有两个元素与之对应，因而构不成映射，而③，④符合要求，能构成映射．

【答案】

③④

(2)①集合A中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然对应关系f 是A到B的映射．

②集合A中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应关系f 不是A到B的映射．

③集合A中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f 是从A到B的映射．

1④当x＝0∈A时，x2无意义，故关系f 不是从A到B的映射．

⑤一个圆可以有多个内接矩形，故f 不是从A到B的映射．

1．判断f ：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：

(1)明确集合A，B中的元素；

(2)判断A中的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．

2．映射须满足：A中元素不剩且一对一或多对一．

3．若对应f ：A→B不是映射，只需举一个反例，说明A中的元素在B中无对应元素或A中的元素在B中有两个或两个以上的对应元素即可．

[再练一题]

3

1．判断下列对应是否是映射，是否是函数．

(1)A＝N，B＝N*，f ：x→|x－1|，x∈A，y∈B；

1x≥0，(2)A＝R，B＝{1,2}，f ：x→y＝

2x<0；(3)A＝{平面M内的三角形}，B＝{平面M内的圆}，对应法则是“作三角形的外接圆”．

【解】

(1)∵1∈A，在f 作用下，1→|1－1|＝0∉B，

∴不是映射，故也不是函数．

(2)对于A中元素x≥0时与B中的元素1对应，而当x<0时与B中的元素2对应，因此能构成映射，又A，B均为数集，因此也能构成函数．

(3)由于平面内的三角形都有其外接圆，且外接圆唯一，因此能构成从A到B的映射，但由于A，B都不是数集，因此不能构成函数．

映射概念的应

用

给定从集合A到集合B的映射f ：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，集合A，B都是平面直角坐标系内点的集合，则在该映射f 下，对应到集合B中元素(3,1)的A中的元素是________，若(3,1)在A中，则(3,1)对应的B中元素为________.

【精彩点拨】

分清(3,1)在A中还是在B中．若(3,1)在A中，则直接代入对应法则．若(3,1)在B中，则可以采用方程(组)思想求解．

x＋2y＝3，x＝1，【自主解答】

令⇒∴B中元素(3,1)对应A中元素2x－y＝1y＝1，(1,1)．

令x＝3，y＝1，则x＋2y＝5,2x－y＝5，

∴A中元素(3,1)对应B中元素(5,5)．

【答案】

(1,1)

(5,5)

求对应元素的一般思路

4

若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应法则f 求解即可；若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时需构造方程(组)进行求解即可，这时需注意解得的结果可能有多个．

[再练一题] 2．在映射f ：A→B中，A＝R，B＝R，且f ：x→|2x＋3|，则与B中的元素5对应的A中的元素为________，A中元素2对应的B中元素为________．

【解析】

令|2x＋3|＝5，∴2x＋3＝±5，∴x＝1或－4. 当x＝2时，|2x＋3|＝7. 【答案】

1或－4

7 [探究共研型]

映射的个数

探究1

若A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1}，则从A到B可以建立多少个映射？试写出来．

【提示】

共1个映射．

探究2

若A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2}，则从A到B可以建立多少个映射？试写出来．

【提示】

共8个．

5

探究3

若A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2，b3}，则从A到B可以建立多少个映射？试写出来．

【提示】

共9个．

探究4

从以上三个探究中，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A到B可以建立的映射有多少个？

【提示】

从前三个探究看，A中元素个数分别为3,3,2，B中元素个数分别为1,2,3，则从A到B建立的映射个数为1,8,9，∵1＝13,8＝23,9＝32，故从A到B建立的映射个数为nm.

已知集合A＝{a，b，c}，B＝{2,3,4}，映射f ：A→B满足A中元素a在B中对应的元素为4，则这样的映射有________个．

【精彩点拨】

可将问题转化为集合{b，c}向集合B建立映射的个数．

【自主解答】

因为A中的元素a对应B中的元素4已经确定，故所有从A到B建立的映射便与集合{b，c}到B＝{2,3,4}建立的映射个数相同，共有32＝9个．

【答案】

9

1．设集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N共可建立nm个不同映射；从N到M共可建立mn个不同映射．

2．对于有限定条件的映射个数问题，常采用列举法求解，当然也可以在已考虑已知限制条件的情况下，将问题转化为无约束条件的第1类问题．

[再练一题]

6

3．设M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，

(1)求从M到N的映射个数；

(2)从M到N的映射满足f (a)>f (b)≥f (c)，试确定这样的映射f 的个数．

【解】

(1)M中元素a可以对应N中的－2,0,2中任意一个，有3种对应方法，同理，M中元素b，c也各有3种对应方法．因此从M到N的映射个数为3×3×3＝27. (2)满足f (a)>f (b)≥f (c)的映射是从M到N的特殊映射，可具体化，通过列表求解(如下表)：

f (a)

0

2

2

2

故符合条件的映射有4个. f (b)

－2

－2

0

0

f (c) －2 －2 －2 0

1．设f ：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是________．(填序号) ①A中的每一个元素在B中必有元素与之对应；

②B中每一个元素在A中必有元素与之对应；

③A中的一个元素在B中可以有多个元素与之对应；

④A中不同元素在B中对应的元素可能相同．

【解析】

根据映射的定义，只有①④符合．

【答案】

①④

2．以下四个对应：

2(1)A＝N＋，B＝N＋，f ：x→|x－3|；(2)A＝Z，B＝Q，f ：x→x；(3)A＝N＋，B＝R，f ：x→x的平方根；(4)A＝N，B＝{－1,1,2，－2}，f ：x→(－1)x. 其中能构成从A到B映射的为________．(填序号)

7

【解析】

(1)当x＝3时，|x－3|＝0∉N＋，所以(1)不能构成从A到B的映射；2(2)当x＝0时，x不存在，即在B中不存在与0对应的项，所以(2)不能构成从A到B的映射；(3)当x＝4时，x的平方根为±2，即集合A的元素4，在集合B中有两个元素和它对应，所以(3)不能构成从A到B的映射；(4)当x为偶数时，(－1)x＝1∈B；当x为奇数时，(－1)x＝－1∈B，所以(4)能构成从A到B的映射．

【答案】

(4) 3．已知集合A到B的映射f ：x→y＝2x＋1，那么集合A中元素2在B中对应的元素是________．

【解析】

将x＝2代入y＝2x＋1，得y＝5. 【答案】

5 4．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}，则从A到B可以建立不同的映射个数为________．

【解析】

从A到B的不同映射的个数为23＝8个．

【答案】

8 5．集合A，B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A→B的映射f ：(x，y)→(x2＋y2，xy)，求B中的元素(5,2)所对应A中的元素.

22x＋y＝5，【解】

依题可得xy＝2，

①②

①＋2×②，得(x＋y)2＝9，∴x＋y＝±3. 于是，原方程组可化为如下的两个方程组：

x＋y＝3，x＋y＝－3，或

xy＝2xy＝2，x1＝1，x2＝2，x3＝－1，x4＝－2，解得

y＝2；y＝1；y＝－2；y＝－1，1234∴B中的元素(5,2)对应A中的元素是(1,2)，(2,1)，(－1，－2)，(－2，－1)．

江都区大桥高级中学——唐朋

2018年7月18日

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