2.2.2 函数的奇偶性优秀完整教案

第7课

函数的奇偶性

【自主学习】

第7课

函数的奇偶性

(本课时对应学生用书第14~16页)

自主学习

回归教材

x4-12x(x-1)是

函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非1. (必修1P43练习6改编)函数f(x)=偶”)

【答案】奇

【解析】由题知定义域{x|x∈R，且x≠0，x≠±1}关于原点对称，且f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.

2. (必修1P94习题28改编)若f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-3，则f(-2)=

. 【答案】-1 【解析】f(-2)=-f(2)=-1.

3.(必修1P55习题8改编)若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a=

. 【答案】4 【解析】因为函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，由f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a，得x2-(a-4)x-4a=x2+(a-4)x-4a，即a-4=0，a=4.

4. (必修1P43习题4改编)已知函数f(x)=4x2+bx+3a+b是偶函数，其定义域为[a-6，2a]，则点(a，b)的坐标为

. 【答案】(2，0) b0，b0，-(a-6)2a，【解析】因为f(x)为偶函数且定义域为[a-6，2a]，所以即a2，故点(a，b)的坐标为(2，0).

5. (必修1P111复习题17改编)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上是增函数，f(1)=2，则不等式f(lg x)>2的解集为

. 10，【答案】10∪(10，+∞) 【解析】因为f(x)为偶函数，所以由f(lg x)>2f(|lg x|)>2=f(1)，又因为f(x)在[0，1+∞)上是增函数，所以|lg x|>1，所以010，故不等式f(lg x)>2的解集为10，10∪(10，+∞).

1.

奇、偶函数的定义

对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=0)，则称f(x)为偶函数.

2.

奇、偶函数的性质

(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).

(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. (3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0. (4)定义在(-∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

【要点导学】

要点导学

各个击破

函数奇偶性的判定

例1

判断下列各函数的奇偶性. x3-x2(1)f(x)=x-1；

22x-11-x(2)f(x)=+；

(3)f(x)=|x+2|-|x-2|；

x2x，x0，2(4)f(x)=x-x，x0.

【思维引导】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值符号的，要利用绝对值的意义判断f(-x)与f(x)的关系，分段函数应分情况判断. 【解答】(1)定义域是{x|x≠1}，不关于原点对称，

所以f(x)是非奇非偶函数.

(2)定义域是{-1，1}，f(x)=0，

所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)定义域是R，f(-x)=|-x+2|-|-x-2|=-(|x+2|-|x-2|)=-f(x)，

所以f(x)是奇函数. (4)当x<0时，-x>0，

则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)；

当x>0时，-x<0，

则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x). 综上所述，对任意的x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数. 【精要点评】利用定义判断函数奇偶性的步骤：

(1)首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称. (2)确定f(-x)与f(x)的关系. (3)作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.

11x2-12+a(其中a为常数)为偶函数. 变式

求证：函数f(x)=x【解答】易知此函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称. 2x12x-1111111--xx2x-122x-122-122-12因为f(-x)=-x+a=x+a=x+a=x+a=f(x)，

11x2-12+a为偶函数. 所以f(x)=x【精要点评】函数奇偶性的证明与函数奇偶性的判断的区别在于我们已经知道函数具有奇偶性，从而有了解决问题的方向，只是在对式子的变形上可能要下一定的功夫，特别是对于抽象函数我们还是要牢牢抓住奇偶性的定义找到解决问题的突破口.

函数奇偶性的应用

例2

(1)已知函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数.当x∈(-∞，0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0，+∞)时，f(x)=

. (2)(2014·湖南卷改编)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)=

，g(1)=

. 【思维引导】(1)要求f(x)在(0，+∞)上的表达式，由于已知f(x)在(-∞，0)上的表达式，因此解答本题可先设x∈(0，+∞)，然后将它转化到已知解析式的区间(-∞，0)上，最后利用函数的奇偶性定义即可得出结论.(2)先利用函数的奇偶性，确定f(x)和g(x)的解析式，然后代值计算. 【答案】

(1)-x-x4

(2)2

-1

【解析】(1)当x∈(0，+∞)时，有-x∈(-∞，0)，注意到函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数，于是有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4. (2)由题意得f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1，

因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

所以f(x)+g(x)=-x3+x2+1，

联立f(x)-g(x)=x3+x2+1，

解得f(x)=x2+1，g(x)=-x3，

所以f(1)=2，g(1)=-1. 【精要点评】(1)解决本题第(1)问的关键是利用偶函数的关系式f(-x)=f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量x，然后把x转化为-x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当的推导，求出所求区间上的解析式.(2)本题第(2)问也可以直接用赋值法解决，即赋值x=±1，然后利用奇偶性化归为关于f(1)和g(1)的方程组，进行求解.

变式

(1)若f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)=

.

px225(2)已知f(x)=3xq是奇函数，且f(2)=3，那么p=

，q=

. 【答案】

(1)-3

(2)2

0

【解析】(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(0)=20+2×0+b=0，解得b=-1，

故当x≥0时，f(x)=2x+2x-1，

所以f(-1)=-f(1)=-(2+2×1-1)=-3. (2)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)+f(x)=0，

px22px22即-3xq+3xq=0，得q=0. 54p25又由f(2)=3，得6=3，解得p=2.

函数奇偶性与单调性的综合应用

微课2

●

问题提出

奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.抽象函数中的不等式问题，核心是去掉抽象函数中的符号“f”，除了画出草图利用数形结合思想求解外，本质是利用奇偶性和单调性.那么，求解此类问题的解题模板是怎样的呢?

●

典型示例

例3

已知函数f(x)是定义在R上的单调函数，对任意的实数a∈R，f(-a)+f(a)=0恒成立，且f(-3)=2.

(1)试判断函数f(x)在R上的单调性，并说明理由；

m-xx+f(m)<0，其中m∈R且m>0. (2)解关于x的不等式：f【思维导图】

【规范解答】(1)函数f(x)为R上的减函数.理由如下：

由题知f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0.又因为f(x)是R上的单调函数，

由f(-3)=2，f(0)

(2)由f+f(m)<0，得fm-x(1-m)x-mx结合(1)得x>-m，整理得<0. mx|x0或x1-m；

当m>1时，不等式的解集为当m=1时，不等式的解集为{x|x>0}；

mx|0x1-m. 当0

●

总结归纳

奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，在研究单调性、最值或作图象等问题时，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得.

●

题组强化

3f(-x)-2f(x)5x1.若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(2)=0，则不等式≤0的解集为

. 【答案】[-2，0)∪(0，2] 3f(-x)-2f(x)f(x)5x【解析】根据已知条件可画出f(x)的草图如图所示.不等式≤0x≥0，

x0，x0，f(x)0即或f(x)0.由图可知不等式的解集为[-2，0)∪(0，2].

(第1题)

122.(2015·全国卷)若函数f(x)=ln(1+|x|)-1x，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是

. 11，3【答案】

12【解析】由f(x)=ln(1+|x|)-1x可知f(x)是偶函数，且在[0，+∞)是增函数，

1所以f(x)>f(2x-1)f(|x|)>f(|2x-1|)|x|>|2x-1|3

1，123.

已知偶函数f(x)在[0，+∞)上是增函数，如果f(ax+1)≤f(x-2)在x∈上恒成立，求实数a的取值范围.

【解答】由于f(x)为偶函数，且在[0，+∞)上为增函数，则在(-∞，0]上为减函数. 由f(ax+1)≤f(x-2)，知|ax+1|≤|x-2|. 1，12又x∈，故|x-2|=2-x，

即x-2≤ax+1≤2-x. 131，1故x-3≤ax≤1-x，1-x≤a≤x-1在2上恒成立. 13-11-由于xmin=0，xmax=-2，故-2≤a≤0，

即实数a的取值范围为[-2，0].

4.已知奇函数f(x)是定义在(-3，3)上的减函数，且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0，求x的取值范围. 0x6，-3x-33，2-3x-33，-6x0或0x6，【解答】由题知解得故03-x2，

即x2+x-6>0，解得x>2或x<-3. 综上，2

1.(2015·北京卷改编)已知下列函数：①y=x2sin x；②y=x2cos x；③y=|ln x|；④y=2-x.其中为偶函数的是

.(填序号) 【答案】②

【解析】根据奇偶性的定义知①为奇函数，②为偶函数，③的定义域为(0，+∞)，故③不具有奇偶性，④既不是奇函数，也不是偶函数.

a·2xa-2x2.(2015·南通模拟)已知函数f(x)=21(x∈R)是奇函数，那么实数a=

. 【答案】1 a·2xa-2x【解析】因为f(x)=21(x∈R)是奇函数，

因此f(0)=0，解得a=1.

3.(2016·苏州期中)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=2x-x2，则f(-1)+f(0)+f(3)=

. 【答案】-2 【解析】由题意知，f(0)=0，f(-1)=-f(1)，又因为当x>0时，f(x)=2x-x2，所以f(-1)+f(0)+f(3)=-f(1)+0+f(3)=-21+12+23-32=-2.

4.(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1 (m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为

. 【答案】c

5.

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上为增函数，若f(1-a)+f(-2a)<0，求实数a的取值范围. 【解答】因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上为增函数，所以f(x)在R上为增函数.

又f(1-a)+f(-2a)<0，

所以f(1-a)<-f(-2a)=f(2a)，

1所以1-a<2a，即a>3，

1，. 所以实数a的取值范围为3

【融会贯通】

融会贯通

能力提升

已知函数f(x)的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；

(3)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x-6)≤3，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围. 【思维引导】

【规范解答】(1)令x1=x2=1，

得f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0..........................................................................................................2分

(2)f(x)为偶函数.证明如下：........................................................4分

令x1=x2=-1，

得f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)，解得f(-1)=0. 令x1=-1，x2=x，有f(-x)=f(-1)+f(x)，

所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数..........................7分

(3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2，

f(16×4)=f(16)+f(4)=3...............................................................9分

将f(3x+1)+f(2x-6)≤3，

变形为f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) 因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)=f(|x|)，

所以不等式(*)等价于f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64)......................11分

又因为f(x)在(0，+∞)上是增函数，

所以|(3x+1)(2x-6)|≤64，且(3x+1)(2x-6)≠0，

711解得-3≤x<-3或-3

所以x的取值范围是117x-x-或-x3或3x5333.

..............................14分

【精要点评】抽象函数的奇偶性就是要判断-x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称.在利用单调性解决抽象不等式时，不仅要注意单调性的应用，还要注意定义域的限制，以保证转化的等价性.

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第13~14页.

【检测与评估】

第7课

函数的奇偶性

一、

填空题

1．(2015·湖南卷改编)若函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则f(x)的奇偶性是

.

22．(2015·全国卷)若函数f(x)=xln(x+ax)为偶函数，则实数a=

.

2x1+x)+bx3+x2，其中a，b为常数，3．(2015·淮安中学模拟)已知函数f(x)=aln(f(1)=3，则f(-1)=

.

4．已知a为常数，函数f(x)=x2-4x+3．若f(x+a)为偶函数，则a=

.

5．(2014·福建三明模拟)设f(x)是定义在R上、以3为周期的奇函数，且f(1)>1，f(2 2a-3015)=a1，则实数a的取值范围是

.

6．已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=-ln(1-x)，函数f(x)=x3，x0，g(x)，x0.若

f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是

.

7．(2015·启东联考)若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(-f(x1)-f(x2)x1-x2x)=0；(2)对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0.则称函数f(x)2x-11x为“理想函数”.给出下列四个函数：①f(x)=x；②f(x)=x2；③f(x)=21；④f(x)=-x2，x0，2x，x0.其中能被称为“理想函数”的有

.(填序号)

8．(2014·南京、盐城一模)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上1ln单调递增.如果实数t满足f(ln t)+ft≤2f(1)，那么t的取值范围是

.

二、

解答题

a

9．已知函数f(x)=x2+x(x≠0，常数a∈R). (1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数f(x)在[2，+∞)上为增函数，求实数a的取值范围.

10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(-∞，0)时，f(x)=-xlg(2-x)，求函数f(x)的解析式.

11．设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意的x∈M(MD)，有x+l∈D，且f(x+l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数. (1)如果定义域为[-1，+∞)的函数f(x)=x2为[-1，+∞)上的m高调函数，求实数m的取值范围；

(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=|x-a2|-a2，且f(x)为R上的4高调函数，求实数a的取值范围.

三、

选做题

-2xbx112．已知定义域为R的函数f(x)=22是奇函数. (1)求实数b的值；

(2)判断函数f(x)的单调性；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求实数k的取值范围.

【检测与评估答案】

第7课

函数的奇偶性

1．奇函数

【解析】显然f(x)的定义域为(-1，1)，关于原点对称.又因为f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.

22axax2．1

【解析】由题知y=ln(x+)是奇函数，所以ln(x+)+ln(-x+ax2)=ln(a+x2-x2)=ln a=0，解得a=1．

23．-1

【解析】已知函数f(x)=aln(x1+x)+bx3+x2，所以f(x)+f(-x)=2x2．由f(1)=3，得f(-1)=-1．

4．

2

【解析】f(x+a)=(x+a)2-4(x+a)+3=x2+(2a-4)x+a2-4a+3．因为f(x+a)为偶函数，所以a=2．

22a-3-1，5．3

【解析】因为f(2 015)=f(2)=f(-1)=-f(1)<-1，所以a1<-1，解得-1

6．

(-2，1)

【解析】设x>0，则-x<0.因为当x<0时，g(x)=-ln(1-x)，所以g(-x)=-x3，x0，ln(1+x).又因为g(x)是奇函数，所以g(x)=ln(1+x)(x>0)，所以f(x)=ln(1x)，x0，其图象如图所示.由图象知函数f(x)在R上是增函数.因为f(2-x2)>f(x)，所以2-x2>x，即-2

(第6题)

7．④

【解析】依题意知性质(1)反映函数f(x)在定义域上为奇函数，性质(2)反映1函数f(x)在定义域上为减函数.①f(x)=x为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，其单调减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，排除①；②f(x)=x2为定义域上的偶函数，2x-1x排除②；③f(x)=21，定义域为R，由于y=2x+1在R上为增函数，故函数f(x)为R

-x2，x0，2上的增函数，排除③；④根据f(x)=x，x0的图象，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故④为“理想函数”.

111，elnln

【解析】f(ln t)+ft=f(ln t)+f(-ln t)=2f(ln t)，于是f(ln t)+ft8．e1≤2f(1)f(ln t)≤f(1)|ln t|≤1-1≤ln t≤1e≤t≤e.

9．(1)当a=0时，f(x)=x2，对任意x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以f(x)为偶函数. a当a≠0时，f(x)=x2+x，若x=±1，则f(-1)+f(1)=2≠0，

所以f(-1)≠-f(1)，f(-1)≠f(1).所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数. aax1-x222xxx121(2)设2≤x14，所以a4，所以x1x2(x1+x2)>16，

所以实数a的取值范围是(-∞，16].

10．

因为f(x)是R上的奇函数，

可得f(0)=-f(0)，所以f(0)=0. 当x>0时，-x<0，由已知得f(-x)=xlg(2+x)，所以-f(x)=xlg(2+x)，即f(x)=-xlg(2+x)(x>0).

-xlg(2-x)，x0，所以f(x)=-xlg(2x)，x0.

即f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R).

11．

(1)f(x)=x2(x≥-1)的图象如图(1)所示，

(第11题) 要使f(-1+m)≥f(-1)，只要m≥2，

此时恒有f(x+m)≥f(x)，

所以实数m的取值范围为[2，+∞). (2)由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图象如图(2)所示. 因为f(3a2)=a2=f(-a2)，

由f(-a2+4)≥f(-a2)=a2=f(3a2)，得-a2+4≥3a2，从而a2≤1．

又当a2≤1时，恒有f(x+4)≥f(x). 所以实数a的取值范围为[-1，1].

12．(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，

b-1即22=0，解得b=1．

图(1)

图(2) 1-2x1111x1x1x2x(2)由(1)知f(x)=22=-2+21.设x1

因为函数y=2x在R上是增函数，且x10. 又(21+1)(22+1)>0，所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以f(x)在定义域R上为减函数. (3)因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2).由(2)知f(x)为减函数，所以t2-2t>k-2t2，即对一切t∈R有3t2-2t-k>0，从而判别式xxxx11-.-3. 3Δ=4+12k<0，解得k<-，所以实数k的取值范围是