3.1.2 指数函数名师教学设计2

指数与指数函数

淮阴中学滨河高级中学

李杰

考情考向分析

直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为填空题，中档难度．

考试内容

指数与对数

指数函数的图象与性质

函数与方程

小试牛刀：

等级要求

B B B 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a＝(a)n＝a(n∈N*)．(

×

) m(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(

×

) n(3)函数y＝3·2x与y＝2x1都不是指数函数．(

√

) ＋nnnmn(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(

×

) (5)函数y＝2x在R上为单调减函数．(

√

) －2．[P62练习T5]化简416x8y4(x＜0，y＜0)＝________. 答案

－2x2y

12，，则f(－1)＝________. 3．[P71习题T11]若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P2答案

2 12解析

由题意知＝a2，所以a＝，

22所以f(x)＝2x2－，所以f(－1)＝1＝2. 2213334，c＝34，则a，b，c的大小关系是________．

4．[P70练习T4]已知a＝，b＝552答案

c

3x解析

∵y＝5是减函数，

333430∴5>5>5，

即a>b>1，

11311

3430又c＝2<2＝1，

∴c

2 234423＝2. 22解析

原式＝×1＋×－336．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．

答案

(－2，－1)∪(1，2) 解析

由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，

得－2＜a＜－1或1＜a＜2. a7．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．

2答案

13或

22131113122()3＝________. 3a解析

当0

21∴a＝或a＝0(舍去)．

2a当a>1时，a2－a＝，

23∴a＝或a＝0(舍去)．

213综上所述，a＝或. 22利用相关题目来记忆基本知识！！！！

1．分数指数幂

(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是a＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定amnmnn1amn(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ars，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. ＋2．指数函数的图象与性质

y＝ax

a>1

2 0

图象

定义域

值域

(1)R

(2)(0，＋∞)

(3)过定点(0,1)

性质

(4)当x>0时，y>1；

当x<0时，0

(6)在(－∞，＋∞)上是增函数

知识拓展

1．指数函数图象的画法

1－1，. 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，a2. 指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．

3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．

例题分析：

题型一

指数幂的运算

(5)当x>0时，0

当x<0时，y>1

(7)在(－∞，＋∞)上是减函数

例1：化简：4b＋2ab＋a答案

a2

2a－8aba·a23(a>0)＝________. a3－2b×522÷a3333a·a43133解析

原式＝a[(a)(2b)](a)a(2b)(2b)132131313213133133a2b(aa)111

a(a2a3)513132132＝a(a2b)131313aa2b1313aa5616＝a2. 思维升华

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加；

②运算的先后顺序．

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

3

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

课堂小练习：

124ab131．化简4·1

(a>0，b>0)＝________. －－0.11·a3·b32－1答案

8

523·a·b323232解析

原式＝2×10·a·b2328＋－＝213×101＝. 5127－3＋0.0022－10(5－2)－1＋π0＝________. 2．计算：8167答案

－

93105＋2－－2＋5002－解析

原式＝＋1，

25－25＋24167＝＋105－105－20＋1＝－. 99题型二

指数函数的图象及应用

例2、(1)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：

①0

答案

2 解析

如图，观察易知，a，b的关系为a

答案

1 解析

方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．

思维升华

(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

课堂小练习：

3x2＋3a1、关于x的方程2＝5－a有负数根，则实数a的取值范围为__________．

23－，

答案

3414

3x解析

由题意，得x<0，所以0<2<1，

2＋3a23从而0<<1，解得－0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是____．

10，

答案

2解析

(数形结合法) 当0

1由图象可知0<2a<1，∴0

21同理，当a>1时，解得01矛盾．

210，. 综上，a的取值范围是2题型三

指数函数的性质及应用

命题点1

指数函数单调性的应用

71914典例

(1) 已知f(x)＝2－2，a＝()，b＝()5，则f(a)，f(b)的大小关系是________．

97x－x答案

f(b)＜f(a) 解析

易知f(x)＝2x－2x在R上为增函数，

－117199又a＝()4＝()4＞()5＝b. 977∴f(a)＞f(b)．

命题点2

与指数函数有关的复合函数的单调性

典例

(1)已知函数f(x)＝2是________．

答案

(－∞，4] mm，＋∞上单调递增，在区间－∞，上单调递解析

令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间22减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

(2)函数f(x)＝()答案

(－∞，1] 1u解析

设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝2在R上为减函数，

－m||2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围m在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，212x22x1的单调减区间为________________________．

5

所以函数f(x)＝()12x22x1的单调减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的单调增区间为(－∞，1]，

所以f(x)的单调减区间为(－∞，1]．

(3)函数f(x)＝4x－2x答案

[0，＋∞) 解析

设t＝2x(t>0)，

则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，

令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，

所以函数f(x)＝4x－2x1的单调增区间是[0，＋∞)．

＋＋1的单调增区间是________．

命题点3

指数函数性质的综合应用

典例

已知函数f(x)＝()13ax24x3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

解

(1)当a＝－1时，f(x)＝()13ax24x3，

令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7. 1u则u＝－(x＋2)2＋7在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝3在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

1h(x)(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则y＝3，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，

a＞0，因此必有12a－16解得a＝1，

＝－1，4a即当f(x)有最大值3时，a的值为1. (3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0. 思维升华

(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．

(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域，值域，单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．

指数函数底数的讨论

6

典例

已知函数ybax22x3－，0上有最大值3，最小(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间25值，

试求a，b的值．

2错解展示：

现场纠错

解

令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

3－，0，∴t∈[－1,0]．

∵x∈2①若a>1，函数f(t)＝at在[－1,0]上为增函数，

211，1，b＋ax＋2x∈b＋，b＋1，

∴at∈aa15b＋a＝2，a＝2，依题意得解得

b＝2.b＋1＝3，

②若0

2111，，b＋ax＋2x∈b＋1，b＋，

∴at∈aa依题意得5b＋1＝，21b＋＝3，a

解得3b＝2.2a＝，3

23综上知，a＝2，b＝2或a＝，b＝. 32纠错心得

在研究指数型函数的单调性或值域问题时，当底数含参数时，要对底数分类讨论．

7