3.4.1 函数与方程教学目标设计

《函数的零点》教学设计

蒋王中学 刘纯刚

一、

教学目标

1、知识和技能目标：理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程根之间的关系；掌握零点存在的判断条件。

2、过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想. 3、情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力．

二、

重难点：

1、教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系

2、

教学难点：零点存在性的判定条件。

三、

教学手段

PPT，黑板，粉笔

四、

教法学法

在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问—探索—归纳—建构”问题引领、自主建构的方式来突破本科的重难点。

在学法上，精心设置了一个个问题链，并以此为主线，由浅入深，循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。

在教学手段上，我是采用多媒体课件，多媒体投影仪相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境因早课堂氛围，引发学生的兴趣。

五、

教学过程

（一）创设情境，发现问题

问题1 ：观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标

方 程

函 数

函 数

图 象

（简图）

方程的实数根

x22x30

x22x10

x22x30

yx22x3

yx22x1

yx22x3

函数的图象与轴

的交点

提出疑问：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？

结论：方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。

【设计意图：让学生从熟悉的环境出发，由特殊到一般更符合学生的认知规律。】

问题2：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程 ax2bxc0(a0)及相应的一元二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

b24ac

0 0

0

ax2bxc0(a0)的根

yax2bxc(a0)的图象

yax2bxc(a0)的零点

【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。渗透数形结合的思想，培养学生观察、归纳概括能力和语言表达能力。】

（二）总结归纳，形成概念

1、函数的零点：对于函数y=f（x）我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。

问：零点是一个点吗？

练习：求下列函数的零点：

(1)f(x)lg(x1)（2）f(x)x25x6

小结：

（1）求函数零点的步骤：

①令f(x)=0; ②解方程f(x)=0; ③写出零点。

（2）函数零点的求法：

①

代数法：求方程f(x)0的实数根；

②

几何法：将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

2、你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？

等价关系： 函数=f(x)的零点

函数=f(x)的图象与X轴交点的横坐标

方程f(x)＝0实数根

【设计意图：引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法；通过引导，学生自己归纳出三者之间的关系，并且明确提出转化思想。】

例1、求证：函数y2x23x7有两个不同的零点．

【设计意图：进一步理解零点的概念，灵活运用三者之间的关系。】

（三）分组讨论，探究结论（零点存在性）

问题3：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？

【铺设台阶，引出本节课的主要问题.】

怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？

（1）观察二次函数f(x)x22x3的图象：

1 、在区间(2,1)上有零点______；f(2)_______，f(1)_______, ．

f(2)·f(1)_____0（＜或＞）2 、在区间(2,4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（＜或＞）．

思考：根据以上探索，你能得出什么结论？

结论：函数在区间端点处函数值乘积小于0，函数在该区间上有零点. 这个结论推广到一般情况下还成立吗？

（2）观察下面函数yf(x)的图象

1、在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．

2、在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞）．

3、在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞）．

零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点。 【设计意图：先从一个已研究过的、简单的函数入手，引导学生结合函数图象，通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系。总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。】

问题4：满足上述条件，零点是否唯一？

零点唯一性结论：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线且是单调函数，并且有f（a）.f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有唯一零点。 【设计意图：这个问题对学生而言存在一定的挑战，但对定理的解却至关重要，通过教师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内容。同时鼓励学生相互之间合作交流，培养学生的合作学习的能力。】

（四）观察感知，例题学习

例2、求证：函数f(x)x3x21在区间（-2，-1）上存在零点。

【设计意图：进一步理解零点存在定理，灵活运用零点存在定理。】

练习：

1、

如果二次函数yx22x(m3)有两个不同的零点，则m的取值范围是__ 2、

求下列函数的零点：

（1）yx24x

（2）y2x3

(3) yx316x

3、求证：函数yx26x4有两个不同的零点。

4、求证：函数yx33x1在区间（0，1）上有零点。

（五）反思小结,提升能力

1．函数零点的定义

2．等价关系: 函数=f(x)的零点

函数=f(x)的图象与X轴交点的横坐标

方程f(x)＝0实数根

3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断

六、板书设计

函数的零点

一、概念:

函数的零点：

注：1、函数的零点不是点。

2、求零点的步骤：

3、求零点的方法：

二、等价关系：

三、零点存在定理：

注：1、零点不唯一。

2、反之不成立。

零点唯一性结论：

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