信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆优质课一等奖

《椭圆的简单几何性质》说课稿

我说课的题目是《椭圆的简单几何性质》，我将从教材分析、教法学法分析、教学过程分析三部分进行说课。

一、教材分析：

（一）教材的地位与作用

本节是人教A版选修2-1第二章第二节的内容。本节课是在学习了椭圆的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，为后面研究双曲线、抛物线的几何性质提供了基本模式和理论基础，是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。该内容分两个课时教学，本节课是第一课时，主要内容是：探究椭圆的简单几何性质及应用。

（二）教学目标分析：

1、知识与技能

掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率，掌握方程中 a、b、c的几何意义以及a、b、c 的相互关系，初步尝试利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质. 2、过程与方法

利用方程研究曲线的几何性质并正确画出它的图形是解析几何的基本问题和主要目的，学生通过自主探究，经历知识产生与形成的过程，体验数学发现和创造的历程，进一步培养学生观察、分析、联想、类比、逻辑推理能力、理性思维能力. 3、情感、态度与价值观

通过学生自主探究、合作交流使学生亲自体验研究知识的艰辛，从中体味成功的喜悦，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，使学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆的对称美. （三）教学重难点分析：

根据以上教学目标的分析，我将本节课的重点、难点确定为：

教学重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点的概念、离心率等性质并会简单应用；

教学难点：椭圆几何性质的形成过程， 1、如何利用椭圆标准方程的结构特征得出椭圆的范围；2、如何利用方程研究学生直观感悟得到的对称性. 二、教法学法分析：

1、教法：为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，我采用了创设问题情境、学生自主探究、小组辨析与研讨、教师小结与评价的教学方法。

2、学法：通过创设问题情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，这正符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来教育”的观点。 三、教学过程设计

第一个环节：复习旧知

方程

16x25y400

表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？ 预想学生活动1：列表、描点、连线方法作图。问题：x取值时能小于-5吗？大于5呢？

预想学生活动2：用定义法作图（线绳）。问题：联想定义时图象的画法

预想学生活动3：取特殊点作图。问题：联想二次函数和三角函数的五点法

预想学生活动4：用对称性作图。问题：联想圆的对称性

1.研究问题的方向——利用方程研究曲线; 2.本节课研究内容——椭圆的范围、对称性、顶点、离心率.

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1

设计意图：通过学生对方程的化简变形和作图，检查学生对旧知的掌握情况的同时，建立新旧知识之间的联系，为探究新知做好铺垫。

第二个环节：自主探究、讲授新课

设置问题2：与直线和圆的方程相对比，椭圆的标准方程有什么样的结构特征？

x2y2椭圆的标准方程221(ab0)， ab结构特征：（1）椭圆标准方程是关于 x,y 的二元二次方程，不含有一次项；

（2）方程的左边是平方和的形式，右边是常数1；

（3）方程中 x,y 的系数不相等；

椭圆性质1———范围

提出问题：如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的范围？

预想学生活动1:移项，实数的平方为非负数

预想学生活动2:平方和等于1，联想sincos1

预想学生活动3:两个实数的平方和等于１，这两个实数都不大于１

结论：椭圆的范围

：椭圆位于xa和yb所在的区域之间。

椭圆性质2——对称性

设置问题：根据同学们已有的知识储备，你能用哪些方法来得到椭圆的对称性？

自主探究，辨析研讨

情形１：联想椭圆图形直观得到；

情形２：圆是具有对称美的图形，通过类比得到椭圆具有对称性；

情形3：将椭圆形图片进行对折，两部分重合得到椭圆的对称性；

情形4：-x代

x

后方程不变，说明椭圆关于

y

轴对称；

-y代

y

后方程不变，说明椭圆关于x

轴对称；

-x、-y代

x

、y方程不变，说明椭圆关于原点对称；

证明过程略。

教师小结：

（1）观察图形得到椭圆的对称性只是一种感性认识，要想上升到理性思维中来，必须进行严格的代数论证；

（2）利用椭圆的对称性可以简化作图过程；

（3）对称性是椭圆本身所固有的性质, 利用对称性往往能够使问题得到更简捷地解决.

设计意图：倡导学生主动参与，乐于研究，勤于动手，在师生互动共同探索的过程中加深对椭圆范围和对称性的理解，培养学生获取新知识的能力。

椭圆性质3——顶点

问题设置1：与二次函数和三角函数相比较椭圆是否也有顶点，它的顶点有哪些？

问题设置2：椭圆的对称轴有两条，它们之间如何区分？

能在图中标出a、b、c吗？

让学生尝试写出顶点坐标、教师给出长轴长，短轴长、焦距的概念。

顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点

顶点坐标：A1(a,0)A2(a,0)B1(0,b)B2(0,b)

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2

长轴和短轴：线段

A1A2、B1B2

分别叫做椭圆的长轴和短轴，

它们的长分别等于2a

和

2b

;

a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 由a,b,c形在图形中的位置，给出直角三角形

教师小结：

（1）顶点是确定椭圆图形的关键点，结合椭圆的范围、对称性，在精确度要求不太高的情况下可以利用顶点得到椭圆的图形。

（2）

掌握相关概念在椭圆图形上的反映以及

abc的几何本质，重视特征三角形在解题中的应用.

设计意图：

通过开放性问题的设置来启发，学生思考，在思考中体会数学知识形成过程所蕴含的方法。

椭圆性质4——离心率

1.同学们再来观察椭圆方程的结构特征：

“方程中

x

和

y2

的系数不相等”，因此当

x

和

y2

的系数发生变化时，椭圆的形状肯定发生变化，那么，椭圆形状是如何变化的？

试验探究：

学生每小组都用长为10cm的线绳，在直角坐标系下画出椭圆，各小组之间相互观察他们的椭圆是否形状、大小完全相同，为什么会出现圆扁程度不同的情况？

问题设置1.在你们画图的过程中,哪些因素相同又有哪些因素不同? 问题设置2.观察图形、归纳、猜想一下是什么因素导致了椭圆的圆扁程度不同？

问题设置3.是否能用一个量来刻画椭圆的圆扁程度呢?

学生猜想讨论之后找学生回答: 预想学生活动:圆扁程度由a,b决定；由a,c决定；由b,c决定；由a、b、c决定。这几种情况。教师引导总结给出离心率定义。

离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率

1.离心率的取值范围0

1）e 越接近

1，

e越大, 椭圆越扁;

2）e 越接近

0，

e越小, 椭圆越圆; 教师小结：

1.通过在绳长一定情况下作出椭圆图形,充分显示出圆扁程度与a,c的直接关系，进一步说明了用a,c刻画离心率的合理性

2.椭圆的离心率是反映椭圆扁程度的一个几何性质，它能换算为a，b，c任意两个数之间的直接关系，也是确定椭圆的一个基本条件，在解题中会经常遇到.

设计意图：测评通过小组合作试验，使学生在动手的过程中，思考离心率与圆扁程度的关系，体会离心率大小的决定因素。

3 22222

第三个环节：例题讲解：

例1：

求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

2.求椭圆

9 x2 + 4y2 =36的长轴和短轴的长、离心

率、焦点和顶点坐标。

小结：①先化为标准方程，找出a,b

，求出c；

②注意焦点所在坐标轴．

课堂练习：课本48页1、5

设计意图：检测学生对椭圆几何性质的掌握情况，以便及时发现问题、解决问题。

第四个环节：课后作业

y2x2（1）研究椭圆

221(ab0)的范围、对称性、顶点；

ab（2）课后习题第3、4题写在书上。

第五个环节：小结提升

1、本节课通过师生的共同努力，借助椭圆的方程与图形研究了椭圆的范围、对称性、顶点、离心率及其简单应用，回顾研讨过程，突出了方程的作用，加深了对解析法的认识，体现了数形结合思想的应用. 2、本节课坚持“以人为本，主动发展”的教学理念，采用“问题——探究——辨析——小结”四环节学习和有意义的接受式学习相结合的课堂活动模式，通过直观感悟、画图操作、代数推理等形式，使学生的感性认识逐渐上升为理性思考，初步掌握利用方程结构特征研究曲线几何性质的方法，渗透了数学思想方法

第六个环节：板书设计：

椭圆的简单几何性质

问题的引入与解决

问题的探究过程

椭圆中的x,y的范围、顶点、对称性、离心率的定义及

例题与作业

以上是我对这节课的教学预设，具体的教学过程还会根据学生在课堂中

的具体情况适当调整，想生成性课堂转变。最后，我以毕达哥拉斯的一句话结束我的说课： 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么！

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《椭圆的简单几何性质》

说

课

稿

王

东

生

新乐市第二中学

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