对顶角、余角和补角教学设计(教案)

（北师大版）《数学》七年级下册

§2.1 两条直线的位置关系（第一课时）教学设计

宁夏银川市西夏区芦花学校 张海涛

教学分析

教学目标：

1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。

2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。

3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。

4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步体会数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。

教学重难点

重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。

难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。

教学准备

实物教具、ppt课件、电子白板。

教学思考

1

本节内容首先介绍平行线、相交线，之后介绍对顶角、余角、补角等概念和性质，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。

本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础。同时也为以后的学习做好铺垫。

从知识的准备上来看，学生已经认识了角，对本课知识做好了铺垫；从学习难度上来看，难度不大，学生也能学会；从应用方面来看，学生今后学习几何知识经常要找角的关系，应用价值很大。

教学过程

一、创设情境，引入新课

教师活动：

向同学们展示一些图片：图中哪些物体可以抽象成直线呢？这些直线有怎样的位置关系？

2

让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。

【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】

二、建立模型，探索新知

互动探究一：平行线、相交线的概念

师生活动：

1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（教师准备两把直尺，选取一个小组的代表到讲台上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。

2、凡未作特别说明，我们只研究不重合的情形，则去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？（板书：去掉③重合，并总结出同一平面内的两条直线的位置关系）

同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种。

3、在同一平面内，若两直线不相交，则这两条直线是什么位置关系？

板书：（留空）不相交的两条直线叫做平行线。

4、出示立方体框架，谁能指出立方体框架中哪些棱是相交的？哪些是平行的？哪些既不平行也不相交呢？为什么？（用电子白板展示，同时教师用两根直尺演示）

5、在留空之处用彩色粉笔填上“在同一平面内。”

6、那么理解平行线时，必须注意什么？

3 图1

重点给学生强调平行线的三层意思：

（1）“在同一平面”是前提条件；

（2）“不相交”是指两条直线没有交点；

（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段（有时我们也说两条射线或两条线段平行，这实际上市指它们所在的直线平行）。

【设计意图：让学生用两支笔动手操作，不但培养了学生的动手能力，还能让学生更深层次的体会到平行线的含义，进一步明确同一平面内两条直线的位置关系。】

互动探究二：对顶角的概念和性质

教师活动：进入七年级学习以来，大家都有这样的感受：“生活中处处有----数学。”现在请各位同学看一组生活中的图片，你们能从图中找到一些角吗？

（多媒体展示X型晾衣架、栅栏、剪刀、小孔成像原理等图片，引导学生观察这些角的位置特点）（教师板书，给出对顶角定义）

两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角。

教师应关注：（1）对顶角只有在两条直线相交时才出现。

（2）对顶角是指两个角的位置关系，而不是数量关系。

学生活动：在纸上任意画两条相交直线，分别度量所成的四个角的大小，你发现形成对顶角的两个角的大小有什么关系？

4

学生动手操作，教师利用电子白板的量角器进行测量，得出结论，教师板书对顶角的性质：

对顶角相等。

牛刀小试：1、如图2，图中共有____对对顶角。

答案：4。

互动探究三：余角、补角的概念和性质

学生活动：（屏幕展示ppt）

计算：

（1）44°+ 46°= ； （2）30°20′34″+ 59°39′26″= ；

（3）10°+ 25°+ 55°= ； （4）96°+ 84°= ；

（5）58°45′+ 121°15′= ；

（6）50°+ 75°+ 55°= 。

图2 答案：都填90°或180°。

学生计算并回答,总结它们的特点。教师判断对错。

教师应关注：

（1）计算的准确性

（2）学生是否认真观察并思考

【设计意图：通过计算复习学过的知识，设置悬念，调动学生的积极性，更进一步促使渴望尽快地寻找到答案，同时也为判断余角和补角做铺垫。】

师生活动：

A:出示一组互余角 B:出示一组互补角

教师演示ppt互为余角（补角）并用白板里的量角器测量。

学生通过观察，回答教师提出的问题。师生总结互为余角的概念。然

5

后，类比互为余角学习互为补角的概念。

如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。

如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。

教师应关注：

（1）学生的语言表达。

（2）学生是否能独立思考并积极参与到数学的问题中。

（3）学生是否真正理解了这两个概念，互余和互补是两个角的数量关系，与位置没有关系。

【设计意图：教师演示，让学生通过观察，从直观的角度去感受互为余角、补角的概念。并用语言去表达这两个概念，培养口语表达能力。

】

牛刀小试：2、填表：

∠α

32°

62°23′

x ∠α的余角

∠α的补角

从中，你发现一个锐角的补角比它的余角大______°。

答案：表格第一行：58°，148°；第二行：27°37′，117°37′；

第三行：90°- x，180°- x； 空格：90。

3、判断。

（1）一个角有余角也一定有补角。（ ）

（2）一个角有补角也一定有余角。 ( ) （3)一个角的补角一定大于这个角。（ ）

答案：（1）√；（2）×；（3）×。

6

学生计算并回答，对照答案，教师根据回答给以评价。

教师应关注：

（1）计算的准确性。

（2）是否会用含有未知数的式子表示余角和补角，是否准确理解概念。

【设计意图：通过利用余角和补角的概念来进行计算，一方面检查是否理解概念；另一方面培养计算能力。】

师生活动：

图3 1、如图3，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？你能用一句话概括这一规律吗？

2、如图4，如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3，那么∠2与∠4有什么关系？为什么？

学生分组进行讨论，交流并让代表发言。

教师让学生猜想、简单说理、得出结论。根据回答进行引导，并给以积极的评价。并让学生反思这个过程。

教师提出问题，学生类比余角的性质独立解决该问题。

教师应关注：

（1）学生语言是否准确、规范。

（2）几何语言的表达是否准确、规范。

（3）思维是否清晰。

7 图4

同角或等角的余角相等。

同角或等角的补角相等。

【设计意图：学生有了探究余角的经验，会主动迁移到补角上来，类比余角的性质进行自主探究，从而达到“由扶到放”的目的。从而培养学生独立思考的习惯，以及迁移知识的能力。】

例1、已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数。

分析：可以利用方程思想解决这道题。

解：设这个角的大小为x°，则180 – x = 4（90 - x），

∴x = 60。

答：这个角是60°。

【设计意图：本例题不但考查学生对概念的理解，同时也渗透方程的思想。学生感觉到几何问题用方程解决更简单。】

牛刀小试：

4、如图5，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1 = ∠2,则（1）图中有哪些角互为余角？有哪些角互为补角？

（2）∠3与∠4有什么关系？为什么？

（3）∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？

D 1 3 A N 4 B 图5 O 2 C 答案：（1）∠1与∠3互余, ∠2与∠4互余，∠1与∠4互余，∠2与∠3互余，理由是：余角定义，同角（等角）的余角相等。

（2）∠3=∠4，同角（等角）的余角相等

本题相对复杂，为了更好让学生得到发展，先让学生独立思考，然后在进行交流。教师给以评价。

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【设计意图：本题是利用余角的性质解决，学生经历“独立思考——交流——结论”这样一个过程，既培养独立的意识，又有合作。既充分发表个人的见解，让他们体验成功，又锻炼了口语表达。】

三、巩固新知，学以致用： 1、在下列4个判断中，正确的个数是( ) ①在同一平面内,不相交的两条线段一定平行；

②不相交的两条直线一定平行；

③在同一平面内,不平行的两条射线一定相交；

④在同一平面内,不平行的两条直线一定相交。

A。4 B。3 C。2 D。1 2、如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）

A 1 2 B 1 C 1 D 1 2 2 2

3、如果∠A＝35°18′，那么∠A的余角等于 ；∠A的补角等于 。

4、如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是 。

5、已知与互补，且与是对顶角，则=_________。

6、已知A24,且A与B互余，B与D互余，则D和它的补角的度数分别为_____________________。

7、一个角的补角比这个角的余角的3倍还大10度，求这个角的度数。

答案：1、D； 2、D； 3、54°42′，144°42′； 4、60°； 5、90°； 6、24°，156°； 7、50°；

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四、归纳小结，认知升华：

学生思考，谈自己的收获和体会。教师给以补充。总结一下内容：

1、同一平面内两条直线的位置关系：平行、相交。

2、概念：（1）对顶角；（2）余角；（3）补角。

3、性质：（1）对顶角性质；（2）余角性质；（3）补角性质。

五、布置作业，分层训练：

必做作业：教科书第40页1，2， 选做作业：3

课后评析

教学反思

本课教学是非常成功的一节课，学生的积极性、主动性完全迸发，整个课堂完全就是和谐统一的有机整体。

细细思想从中得出：对于新旧知识有类似的内容可以用类比的方法，这样省时高效；对于几何的命题的验证，可通过多种方法证明，如本节的“等角的余角相等”，可以通过测量、叠合法、逻辑证明，这样可以让不同的学生得到清晰而深刻的理解；更重要的是通过本课学习知道说明一个几何命题的过程是怎样的，须经历“猜想—推理—结论”这样一个过程，为以后的学习做了铺垫。

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板书设计：

§2.1 两条直线的位置关系

相交：两条直线只有一个公共点，则称这两条直线为相交线。

余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。其中一个角是另一个角的余角。

两角的数量关

性质：同角或等角的余角相等。

平行： 同一平面内

，不相交的两条直线叫做平行线。

重合

（1）“在同一平面”是前提条件；

（2）“不相交”是指两条直线没有交点；

两个角的（3）平行线指的是“两条直线”

位置关系

对顶角：若两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。

∵∠1+∠AOC=180º ∠2+∠AOC=180º

∴∠1=180º-∠AOC

∠2=180º-∠AOC

∴∠1= ∠2

∵∠1+∠3=90º ∵∠1=∠2 ∠2+∠3=90º

∠1+∠3=90º

∴∠1= ∠2 ∠2+∠4=90º

∴∠3= ∠4

补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。其中一个角是另一个角的余角。

性质：同角或等角的补角相等。

两角的数量关

∵∠1+∠3=180º ∵∠1=∠2 ∠2+∠3=180º

∠1+∠3=180º ∴∠1= ∠2 ∠2+∠4=180º

∴∠3= ∠4 11