平方差公式的应用特级教师教学实录

1.7

平方差公式(二) ●教学目标

(一)教学知识点

1.了解平方差公式的几何背景. 2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. 3.体会符号运算对证明猜想的作用. (二)能力训练要求

1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感与价值观要求

.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣. ●教学方法

启发——探究相结合

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？

图1－23

图1－24

［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？

［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2. ［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证. ［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学***方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用. Ⅱ.讲授新课

(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点

79

88

1113

1212

7981

8080(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

［生］(1)中算式算出来的结果如下

7963

8864

1113143

1212144

79816399

80806400［

［师］你能用字母表示这一规律吗？

［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a－1,a+1,则有(a+1)(a－1)=a2－1. ［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明. ［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？

(同学们惊讶，然后讨论) ［生］a可以代表任意一个数. ［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡. ［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？

(陷入沉思) ［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899. ［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了. 我们不妨再做几个类似的练习.

出示投影片(§1.7.2 B) ［例3］用平方差公式计算：

(1)103×97

(2)118×122 ［例4］计算：

(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3). 分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简. 解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2

=a2(a2－b2)+a2b2

=a4－a2b2+a2b2

=a4

(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3) =(2x)2－52－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25 注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体. ［例5］公式的逆用

(1)(x+y)2－(x－y)2

(2)252－242

分析：逆用平方差公式可以使运算简便. 解：(1)(x+y)2－(x－y)2

=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］

=2x·2y =4xy (2)252－242

=(25+24)(25－24) =49 Ⅲ.随堂练习

1.(课本P32)计算

(1)704×696 (2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) (3)x(x－1)－(x－1)(x+1) 33(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠) 解：(1)704×696=(700+4)(700－4) =490000－16=489984 (2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) =(x2－4y2)+(x2－1) =x2－4y2+x2－1 =2x2－4y2－1 (3)x(x－1)－(x－1)(x+1) 33=(x2－x)－［x2－(1)2］

3=x2－x－x2+1=1－x 992.(补充练习) 出示投影片(§1.7.2 D) 解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1) (先由学生试着完成) 解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2) =(7x+1)(x－1) (2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1 4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1 6x=12

x=2 ……

Ⅴ.课后作业

计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.

●板书设计

§1.7.2

平方差公式(二) 一、平方差公式的几何解释：

二、想一想

特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明

即(a+1)(a－1)=a2－1 三、例题讲解：例3

例4 四、练习

●备课资料

参考练习

1.选择题

(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是(

) A.(－a－b)(a－b)

B.(c2－d2)(d2+c2) C.(x3－y3)(x3+y3)

D.(m－n)(－m+n) (2)用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是(

) A.x4－1

B.x4+1 D.(x+1)4

C.(x－1)4

(3)下列各式中，结果是a2－36b2的是(

) A.(－6b+a)(－6b－a)

B.(－6b+a)(6b－a) C.(a+4b)(a－4b)

D.(－6b－a)(6b－a) 2.填空题

(4)(5x+3y)·(

)=25x2－9y2

(5)(－0.2x－0.4y)(

)=0.16y2－0.04x2

(6)(－3x－11y)(

)=－9x2+121y2

24(7)若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2,则A=

，B=

. 3.计算

(8)(2x2+3y)(3y－2x2). (9)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5). (10)(x2y+4)(x2y－4)－(x2y+2)·(x2y－3). 4.(11)原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=1

5.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n为正整数).