完全平方公式的应用名师课堂实录

第课时

1.熟记完全平方公式,并能说出公式的结构特征,能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算,会在多项式、单项式的混合运算中,正确运用完全平方公式进行计算.

2.掌握每一个乘法公式的结构特征及公式的含义;会正确地运用这些公式,感悟换元法,提高灵活应用乘法公式的能力.

能够运用完全平方公式解决简单的实际问题,并在活动当中培养学生数学建模的意识及应用数学知识解决实际问题的能力,感悟换元法,提高灵活应用乘法公式的能力,体会符号运算对解决问题的作用,进一步发展学生的符号感.

在学习中使学生体会学习数学的乐趣,培养学习数学的信心,感受数学的内在美.

【重点】

1.进一步巩固完全平方公式,能正确理解(a+b)2与a2+b2的关系.

2.熟悉乘法公式的运用,体会公式中字母a,b的广泛含义.

【难点】

灵活运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P26~27.

导入一:

师:上节课我们推导出了完全平方公式,现在我们来看一个问题:一个正方形的边长为a(a>2)厘米,减少2厘米后,这个正方形的面积减少了多少平方厘米? 生:原来正方形的面积为a2平方厘米,边长减少2厘米后的正方形的面积为(a- 2)2平方厘米,所以这个正方形的面积减少了[a2- (a- 2)2]平方厘米,因为a2- (a- 2)2=a2- (a2- 4a+4)=a2- a2+4a- 4=4a- 4,所以面积减少了(4a- 4)平方厘米.

师:很好!这里的(a- 2)2是我们上节课学过的相关内容,哪位同学能说出这种算式的名称、字母表达式和语言表示? 生1:完全平方公式.用字母表示为(a+b)2=a2+2ab+b2,(a- b)2=a2- 2ab+b2.

生2:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍.

师:其中a,b可以代表什么?这节课我们继续巩固完全平方公式.

[设计意图]

本节课的学习内容是完全平方公式的巩固和应用,因而利用一个图形问题对基础知识进行复习和巩固,起到了承上启下的作用.

导入二:

[过渡语]

同学们,前面我们学习了整式的乘法,在整式的乘法中又研究了两个很重要的公式,那么在现实生活中有哪些可以用乘法公式来解决的问题呢?

有一个王国的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主,国王要赏赐他们.这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地,第一个农夫就对国王说:“您可不可以再给我一块边长为b米的正方形土地呢?”国王答应了他,国王问第二个农夫:“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说:“不,我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了”.国王想不通了,他说:“你们的要求不是一样的吗?”

展示交流: 通过画图可以知道第一个农民的土地扩大后面积为(a2+b2)米2,第二个农民的土地扩大后面积为(a+b)2米2.

【思考】

a2+b2与(a+b)2有什么关系? [设计意图]

由学生感兴趣的故事引入新课,贴近学生的生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,同时也让学生进一步体会了a2+b2与(a+b)2的关系,这也为新课的学习做了铺垫.

导入三:

请同学们回顾我们学过的两种非常重要的整式乘法公式,并思考下面的问题: (1)两种公式中的字母都能表示什么? (2)完全平方公式在计算化简中有什么作用? (3)根据两数和或差的完全平方公式,能够计算多个数的和或差的平方吗? [处理方式]

学生讨论交流后,指名学生回答,教师点评.

教师出示课件: 平方差公式:(a+b)(a- b)=a2- b2.

完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2; (a- b)2=a2- 2ab+b2.

平方差公式和完全平方公式都可以对多项式与多项式的乘法进行简便运算.

平方差公式的左边是含有两个括号的多项式,右边是两项,而完全平方公式左边是一个两项式的平方,右边是三项.

[设计意图]

本堂课的学习方向首先是对于完全平方公式的进一步巩固应用,因而复习是很有必要的,这为后面的学习奠定了一定的基础,同时经过本环节中的第三个问题的思考,也使学生明确了本节课学习的初步目标,起到了承上启下的作用.

探究活动1

数字中的完全平方公式

怎样计算1022,1972更简单呢? [处理方式]

学生动脑思考,教师巡视指导.

师板书: 1022=(100+2)2

=1002+2×100×2+22

=10000+400+4 =10404.

1972=(200- 3)2

=2002- 2×200×3+32

=40000- 1200+9 =38809.

[设计意图]

运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算,进一步体会完全平方公式在实际当中的应用,并通过练习加以巩固.需要注意的是,本题的目的是进一步巩固完全平方公式,体会公式对解决问题的简便作用.

探究活动2

完全平方公式中字母a,b的意义

(教材例2)计算.

(1)(x+3)2- x2; (2)(a+b+3)(a+b- 3); (3)(x+5)2- (x- 2)(x- 3).

[处理方式]

学生认真观察、分析,并在小组内讨论、交流.教师参与学生活动并及时补充,注意要为学生提供充分交流的机会.

解:(1)方法一: (x+3)2- x2

=x2+6x+9- x2(直接利用完全平方公式) =6x+9.

方法二: (x+3)2- x2

=(x+3+x)(x+3- x)(逆用平方差公式) =(2x+3)·3=6x+9.

(2)方法一: (a+b+3)(a+b- 3) =[(a+b)+3][(a+b)- 3] =(a+b)2- 32(把(a+b)看成一个整体,再利用平方差公式) =a2+2ab+b2- 9.

方法二: (a+b+3)(a+b- 3) =a2+ab- 3a+ab+b2- 3b+3a+3b- 9(多项式乘多项式法则) =a2+2ab+b2- 9.

(3)(x+5)2- (x- 2)(x- 3) =(x2+10x+25)- (x2- 5x+6) =x2+10x+25- x2+5x- 6 =15x+19.

探究活动3

分糖游戏

做一做: 有一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖,来三个,就给每人三块糖……假如第一天有a个孩子一起去了老人家,第二天有b个孩子一起去了老人家,第三天有(a+b)个孩子一起去看老人,那么第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗?请你用学过的公式解释自己的结论.

分析题意,展示成果: (1)第一天有a个孩子去了老人家,老人给每个孩子发a块糖,所以一共发了a2块糖;第二天有b个孩子去了老人家,老人给每个孩子发b块糖,所以一共发了b2块糖;第三天有(a+b)个孩子去了老人家,老人给每个孩子发(a+b)块糖,所以一共发了(a+b)2块糖.

(2)前两天他们得到的糖果总数是(a2+b2)块,因为(a+b)2- (a2+b2)=a2+2ab+b2- a2- b2=2ab,且2ab>0,所以可知这些孩子第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数要多,且多2ab块.

[设计意图]

数学来源于生活,又服务于生活.通过生动有趣的小故事,使学生进一步巩固了(a+b)2与a2+b2的不等关系,避免将它们混为一谈,激发了学生的学习兴趣.

[知识拓展]

1.完全平方公式的应用,首先要判断一个代数式是否可以利用完全平方公式展开,如果能用公式展开,再选用公式.

2.应用完全平方公式的步骤: (1)确定两数,即确定谁相当于公式中的a,谁相当于公式中的b.

(2)看好是两数的和,还是两数的差.

(3)选用公式计算.

1.完全平方公式的使用:在做题过程中一定要注意符号问题,并正确认识a,b表示的意义,它们可以是数,也可以是单项式,还可以是多项式,所以要记得添括号.

2.在解题之前应注意观察思考,选择不同的方法会有不同的效果,要学会优化选择.

1.代数式2xy- x2- y2等于

(

) A.(x- y)2

B.(- x- y)2

C.- (y+x)2

D.- (x- y)2

解析:2xy- x2- y2=- (- 2xy+x2+y2)=- (x- y)2.故选D. 2.若a+b=7,ab=12,则a2- ab+b2的值为

(

) A.- 11 B.13 C.37 D.61 解析:因为a2- ab+b2=a2+b2- ab=(a+b)2- 3ab,所以当a+b=7,ab=12时,原式=(a+b)2- 3ab=49- 3×12=13.故选B.

3.已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于

(

) A.64 B.48 C.32 D.16 解析:因为x2+16x+k是完全平方式,所以x2+16x+k=x2+2×x×8+64=(x+8)2,所以k等于64.故选A. 4.如图所示,从边长为(a+1) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a- 1) cm的正方形(a>1),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则该矩形的面积是

(

) A.2 cm2

B.2a cm2

C.4a cm2

D.(a2- 1) cm2

解析:根据题意得出矩形的面积是(a+1)2- (a- 1)2=a2+2a+1- (a2- 2a+1)=4a(cm2).故选C. 5.若代数式x2+3x+2可以表示为(x- 1)2+a(x- 1)+b的形式,则a+b的值是

.

解析:因为x2+3x+2=(x- 1)2+a(x- 1)+b=x2+(a- 2)x+(b- a+1),所以a- 2=3,b- a+1=2,所以a=5,b=6,所以a+b=5+6=11.故填11.

第2课时

探究活动1

数字中的完全平方公式

探究活动2

完全平方公式中字母a,b的意义

例题

探究活动3

分糖游戏

一、教材作业

【必做题】

教材第27页习题1.12知识技能第1题.

【选做题】

教材第27页习题1.12联系拓广第4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.(a+3b)2- (3a+b)2的计算结果是

(

) A.8(a- b)2

B.8(a+b)2

C.8b2- 8a2

D.8a2- 8b2

2.下列计算正确的是

(

) A.(m+n)2=m2+n2

B.(x3)2=x5

C.5x- 2x=3x

D.(a+b)(a- b)=(a- b)2

3.若a,b是正数,a- b=1,ab=2,则a+b等于

(

) A.- 2 B.3 C.±3 D.9 4.已知x+y=- 5,xy=6,则x2+y2=

.

【能力提升】

5.先化简,再求值:(x+3)2+(2+x)(2- x),其中x=- 2.

6.已知a+b=6,ab=2.

(1)求a2+b2的值; (2)求(a- b)2的值.

【拓展探究】

7.已知x+=4,求x2+

的值.

8.已知x2- 2x+y2+6y+10=0,求x+y的值.

【答案与解析】

1.C(解析:(a+3b)2- (3a+b)2=a2+6ab+9b2- (9a2+6ab+b2)=a2+6ab+9b2- 9a2- 6ab- b2=8b2- 8a2.故选C.) 2.C(解析:选项A,(m+n)2=m2+n2错误,应为(m+n)2=m2+2mn+n2;选项B,(x3)2=x5错误,应为(x3)2=x6;选项C,5x- 2x=3x正确;选项D,(a+b)(a- b)=(a- b)2错误,应为(a+b)(a- b)=a2- b2.故选C.) 3.B(解析:(a+b)2=(a- b)2+4ab=12+4×2=9,开平方,得a+b=±3,又因为a,b是正数,所以a+b>0,所以a+b=3.故选B.)

4.13(解析:因为x+y=- 5,所以(x+y)2=25,所以x2+2xy+y2=25,因为xy=6,所以x2+y2=25- 2xy=25- 12=13.故填13.) 5.解:原式=x2+6x+9+4- x2=6x+13,当x=- 2时,原式=6×(- 2)+13=1.

6.解:(1)因为a+b=6,所以(a+b)2=36,即a2+b2+2ab=36,因为ab=2,所以a2+b2=36- 4=32.

(2)(a- b)2=a2+b2- 2ab=32- 4=28.

7.解:对x+=4两边同时平方,得

=16,即x2+

+2=16,所以x2+

=14.

8.解:由x2- 2x+y2+6y+10=0得(x- 1)2+(y+3)2=0,所以x- 1=0,y+3=0,得x=1,y=- 3,则x+y=1- 3=- 2.